Salut tout le monde !
J'ai une petite question sur un exo ou je bloqué

On a A matrice non nul vérifiant A^3+A=0
Monter À semblable à
(0 0 0
(0 0 -1
(0 1 0

Je cherche une base (e1,e2,e3) tel que
À(e1)=0
À(e2) =e3
À(e3)=-e2

Par lemme noyaux j'ai ker A + ker A^2+I =M3,1(R)
J'ai monter par dimensions qu'aucun de ces noyaux estréduit à 0, donc les dimensions sont 1 et 2, mais je bloqué pour montrer que c'est le ker À qui est de dimensions 1, si je trouve ça c'est fini
Une petite idée?

Salut,

ker(A) est inclus dans ker(A²)

La c'est ker (A^2+Id) du coup ça marche pas..

Ok.

Dans ce cas, avec les égalités :
À(e1)=0
À(e2) =e3
À(e3)=-e2

on voit que e1 doit être dans ker(A), e2 dans ker(A²+I) et e3 = A(e2)

vu que tu as prouvé que ker(A) et ker(A²+I) sont non vides, il est donc possible de choisir e1, e2 et e3 comme désiré ci-dessus. Il te reste à prouver qu'ils forment une base. En appliquant f plusieurs fois sur une combinaison linéaire de e1, e2 et e3 on montre facilement qu'ils sont libres.