Bonsoir à tous, je sèche sur la question suivante :

Soit f une fonction continue sur R telle que l'image par f d'un irrationnel est un rationnel.
Montrer que f est constante.

J'ai réussi à montrer par un argument de denombrabilité qu'il y avait un rationnel qui était atteint une infinité de fois et j'imagine qu'il doit falloir procéder par l'absurde et utiliser le tvi mais je bloque completement, quelqu'un aurait une piste pour avancer ?

Argument de densité tu veux dire ?

J'ai rien dit. Peux-tu nous exposer ton argument stp ?

Oui alors par l'absurde si chaque rationnel est atteint un nombre fini de fois, on a f^-1 de cet element qui a un nombre fini d'elements, on choisit un element dans cet ensemble et on arrive a construire une injection de R-Q auquel on a enlevé un nombre fini d'elements dans (donc un ensemble indenombrable) dans Q qui est denombrable, ce qui est absurde
Je le reecris pas formellement mais ca m'avait l'air de marcher

J'ai compris ce que tu as fait et jusque là oui ça m'a l'air juste. Je réfléchis à la suite.

J'aurais fait par l'absurde en disant que ton ensemble d'arrivée c'est la réunion de deux ensembles dénombrables (l'ensemble des images des rationnels est dénombrable car Q est dénombrable, l'ensemble des images des irrationnels est inclus dans Q, donc dénombrable aussi). Du coup on a bien f(R) dénombrable.
Si f(R) n'est pas réduit à un seul élément, il existe x et y dans f(R) tel que [x,y] inclus dans f(R) car f continue. Ce qui contredit le fait que f(R) soit dénombrable puisque [x,y] ne l'est pas.

L'image de f est inclus dans Q union f (Q) elle est donc dénombrable. Or si f n'est pas constante, l'image de tout intervalle non réduit à un point est un intervalle non réduit à un point donc non denombrable. Contradiction.

Oui c'est ça.

J'arrive vraiment à rien en ce moment. ça vous arrive pas vous d'avoir des périodes comme ça ?

Bien vu, j'avais pas pensé au fait que f(Q) est denombrable aussi ... Merci beaucoup !