Bonjour, je dois démontrer que le volume d'une boule (sphère) est V=(4pi*R^3)/3

Mon raisonnement est de partir de l'aire d'un disque: Pi*R² et de l'intégrer de 0 à R: si on somme tous les disques de rayon 0 à R on obtient la moitié d'une boule. Pour obtenir l'autre moitié, on multiplie le volume par 2.

Ça donne donc V= 2* intégrale de 0 à R de Pi*R²dr= (2Pi*R^3)/3.

J'aimerais donc savoir où je me trompe.

PS: je sais que la solution consiste à intégrer l'aire d'une sphère de 0 à R mais je voudrais savoir où le raisonnement que j'ai eu est faux.

Qui est le "r" du dr de ta formule? Si c'est le R du rayon, il ne peut pas être en même temps la variable d'intégration et une borne de l'intégrale. R est fixe dans ton problème, c'est le rayon de la boule.

Le rayon des disques sections varie : Si D est un disque "situé à une hauteur h au dessus de l'origine" alors son rayon par Pythagore est racine carrée de (R² - h²) et son aire vaut pi (R² - h²)

Pour avoir le volume de la boule il s'agit donc d'intégrer pi (R² - h²) pour h variant entre 0 et R

V = 2 * intégrale de 0 à R de pi (R² - h²) dh

Mon raisonnement était: on peut découper une sphère de rayon R en une infinité de disques de rayon r qui peut varier de -R à R. Mon idée était donc de sommer la surface de chaque disque pour obtenir le volume de la sphère. J'aurais du écrire V= 2* intégrale de 0 à R de Pi*r²dr

Non ton intégrale ne donne rien de concret au niveau de la boule.

La quantité pi * r² * dr ne désigne rien de particulier.

Il faut que ce qu'on intègre soit le volume d'une petite partie de la boule, pour pouvoir le sommer de façon continue et retrouver le volume de la boule.

La quantité pi (R²- h)² dh désigne le volume d'une petite "couronne" dans la boule : pi (R² - h²) est l'aire du disque de base de cette couronne et dh sa hauteur.

Il y a d'autres manières de découper la boule, dans tous les cas il faut faire apparaître un élément de volume.

Il y a d'autres manières de découper la boule, dans tous les cas il faut faire apparaître un élément de volume.

Je ne suis pas d'accord on peut tout à faire la découper en une infinité de disques et sommer les disques.
D'ailleurs implicitement ça revient à faire une intégration en coordonnées polaires.
On intègre r de -R à R la quantité (R^2-r^2)Pi

Je laisse vérifier qu'on retrouve bien le bon résultat.

"sommer des disques" ça veut dire quoi?

Tu auras beau sommer des aires, tu n'auras pas un volume ce n'est même pas homogène.

Quand on somme continuement il y a un élément infinitésimal qui rentre en compte, c'est lui qui joue le rôle d'épaisseur et qui transforme l'aire en volume.

De la même façon, quand on calcul l'aire sous une courbe, on ne se contente pas de sommer des longueurs (celles des lignes ordonnées), on les multiplie par une largeur (dx) pour avoir une aire.

Je suis désolé mais tu mélanges plusieurs concepts.
Une intégrale est une somme, mais une somme "continue", ce qui fait qu'en "sommant" des aires de cette manière, tu te retrouves avec un volume. Ce n'est pas une somme dans le sens longueur + longueur ou surface + surface, mais ça reste une somme.

Un petit exemple avec une intégrale triple pour le volume d'un carré
int(0 à a) int(0 à a) int(0 à a) dx dy dz

Si je calcule mes deux premières intégrales, je me retrouve avec int(0 à a) a^2 dz
Et cette étape là se résume en fait à découper le cube en une succession continue de carrés de surface a^2 et à les "sommer".

D'ailleurs le signe "intégrale" est un S déformé, et un S pour...somme.

Enfin, l'intégrale de Riemann d'un fonction à une variable est définie comme la limite d'une somme d'aires de rectangles.

Tu ne fais que confirmer ce que je dis :

a² est une surface, dz une hauteur => a²dz est un volume. On ne somme pas des aires mais directement des volumes.

De même l'intégrale de Riemann est une somme d'aires et non une somme de longueurs (comme tu le dis toi même), des aires de la forme f(x) * Dx où f est la hauteur d'un rectangle et Dx une largeur infinitésimale.

Si tu n'es pas convaincu, regarde n'importe quelle définition de l'intégrale, par exemple ici :

https://fr.wikipedia.org/g/wiki/Int%C3%A9grale_multiple

L'intégrale multiple est définie comme une somme de f(Pi) mes(Ti). Dans le cas où l'intégrale est triple, mes(Ti) est un volume.

Mes propos étaient informels (je sais bien que le "dx" de l'intégrale n'est pas un facteur mais représente symboliquement un facteur dans la définition) mais peuvent s'écrire rigoureusement, c'était juste pour faire comprendre à l'auteur que son r² dr ne représente le volume de rien de bien concret et que ce n'est pas en le sommant qu'il obtiendra le volume de la boule.

Je comprends ce que tu veux dire. Personnellement je trouve nos deux manières de voir la chose valable. Puisque certes avec l'intégrale de Riemann on somme des aires de rectangles mais d'une largueur infiniment petite et la somme finie d'aires devient en quelque sorte une somme continue de longueurs. Ce qui revient à faire une multiplication.