Bonjours,

En faisant des exercices d'entrainement en math sur la démonstration de récurrence dans les suites, je me rend comte que j'ai un problème.
Nous avons vu un exemple que je comprend parfaitement ( qui suis, ainsi, vous pourrez voir de quoi je parle exactement )

''Soit U la suite définie par résurrence par : ( U0 = 0 et Un+1 = Un + 2n )
Démontrons que pour tout entier nat "n" , Un = 2^n - 1

Soit P(n) la propriété " Un = 2^n -1"

initialisation de la propriété :

U0 = 0
et 2^0 -1 = 1-1 = 0
donc U0 = 2^0 : P(0) est vrais

Soit k un entier naturel. Supposons que P(k) soit vrais, c'est a dire :
Uk = 2^k - 1 ( c'est l'hypothèse de récurrence )

Démontrons alors que P(k+1) est vraie, c'est a dire que Uk+1 = 2^k+1 -1

Uk+1 = Uk + 2k
Uk+1 = 2k - 1 + 2k
Uk+1 = 2*2k - 1
Uk+1 =2^1 * 2^k - 1
Uk+1 = 2^k+1 - 1

Donc P(k) est vraie P(k+1) vraie

Ainsi par récurence, pour tout n, la propriété P(n) est vraie, c'est a dire : Un = 2^n - 1
''

Pour cette exercice rien a signaler, je comprend le raisonnement.

maintenant Prenons plutôt ( U0 = - 1 et Un+1 = racine de 2Un + 3
POur démontrer que pour tout n de N, on a Un est inf ou égal a 3

Le je bloque ....

comment initialiser la propriété en montrant que U0 est bien égal a U0, alors qu'il n'est pas possible de trouver U0 avec "Un + 1 : racine de 2Un + 3 "

Une personne pour m'expliquer comment faire ?
J'ai l'impression, du coup, de ne plus saisir le raisonnent initial
Alors que l'exemple ne me pose pas de problème

Merci de m’éclairer

Non mais là ta propriété c'est de montrer que Un est inférieure ou égale à 3, du coup tu initialises en montrant que U0 l'est ce qui est vrai car U0=-1.

Initialisation :
U0 = -1 . -1 <= 3
donc P(0) est vraie
tu dois juste montrer que pour tout n € N, Un <= 3

Merci, mais du coup, j'ai une autre question...

pour démontrer que P(k+1) est vraie ( ou inférieur ou égal a 3 dans notre exemple )
notre prof nous a dit de partir du premier membre ( Uk+1 = Uk + 2 ^k dans le premier exemple ) de laisser un espace, et d'écrire le dernier membre ( Uk+1 = 2^K+1 - 1 encore dans le premier exemple )
Puis, de compéter au fur et a mesure pour trouver le raisonnement en entier ...

Mais la, dans l'exemple que je cherche a résoudre, je ne saisi pas comment passer de Uk+1 = racine de Uk + 3 a Uk+1 inf ou égal a 3

Il me manque forcément quelque chose

Tu sais que Uk est inférieur ou égal à 3
Uk+1 = racine ( 2Uk+ 3 )

Le seul truc que tu sais c'est que Uk est inférieur ou égal à 3 ( et que racine de 9 = 3 )
Faut donc forcément utiliser ça.
T'as une idée là ?

Merci Beaucoup
Je viens de trouver !

En fait je ne considérais pas Uk comme une inconnue, je voulais absolument le "garder", et du coup je n'avais pas fais le lien ultra évident ( maintenant que j'y repense ) entre Uk inf ou égal a 3, et racine de 2 * 3 + 3 = 3

Merci encore, maintenant c'est beaucoup plus clair