Bien le bonjour. Alors voilà, j'ai un petit problème sur ces 2 questions :

http://gyazo.com/68a3da9395c77e05f344996ff221b35f

Pour la une, j'ai pensé à dim E = dim(Ker(phi)) + rg(phi), avec rg(phi) = 1, mais je sais pas trop comment le montrer

Merci

Si le rang de phi n'est pas 1, alors c'est 0 ce qui veut dire que c'est une forme linéaire nulle. Sinon, son rang est 1 donc la dimension de son noyau est 2

Du coup tu fais 2 cas : si phi est nulle ou non

Bah t'as pas juste que puisque a, b et c réels non nuls, ax+by+cz=0 est un équation d'un hyperplan de R3, donc dim ker phi = 3-1=2

Le 16 juin 2015 à 17:47:03 eleijah a écrit :
Bah t'as pas juste que puisque a, b et c réels non nuls, ax+by+cz=0 est un équation d'un hyperplan de R3, donc dim ker phi = 3-1=2

ah oui en effet j'avoue avec a,b,c non nuls phi ne peut pas être nulle donc ça simplifie encore la question

Ok merci, par contre pour la deuxième question, je ne sais vraiment pas d'où partir

Vect(u)=Im(phi) donc t'as déjà égalité des dimensions, t'as juste à montrer que l'intersection est réduit à singleton 0

Ok merci beaucoup

Ah non mais enfait j'ai dit n'importe quoi

Pour la (1) :

Si (x,y,z) appartient au noyau de phi alors z = -(a/c) x - (b/c)y

donc (x,y,z) = x(1,0,-a/c)+y(0,1,-b/c)

Donc le noyau de phi est l'espace engendré par (1,0,-a/c) et (0,1,-b/c) qui ne sont pas colinéaires l'espace qu'ils engendrent est de dimension 2.

Pour la (2) il ne te reste plus qu'à prouver que les vecteurs (1,0,-a/c) ; (0,1,-b/c) et (a,b,c) forment une base de R3

En passant par le produit scalaire canonique sur R^3 (et des critères d'othogonalités, voire d'espaces orthogonaux) y a peut-être moyen de bidouiller des trucs.

Le 16 juin 2015 à 20:35:09 Amandin a écrit :
Pour la (1) :

Si (x,y,z) appartient au noyau de phi alors z = -(a/c) x - (b/c)y

donc (x,y,z) = x(1,0,-a/c)+y(0,1,-b/c)

Donc le noyau de phi est l'espace engendré par (1,0,-a/c) et (0,1,-b/c) qui ne sont pas colinéaires l'espace qu'ils engendrent est de dimension 2.

Il y a un problème là on sait pas si c peut être différent de 0, tout ce qu'on sait que (a,b,c) =/= (0,0,0)

C'est pas tellement un problème en fait, il suffit de prendre un des a,b,c non nuls.

Ouais enfait y'a juste à dire que u n'appartient pas au noyau et c'est fini

Ah oui j'ai dit de la merde. Par contre c'est bizarre que ce soit un exo de spé non ? Ca a l'air faisable en sup

edit : J'avais pas vu que c'était que le début d'un sujet, je pensais que c'était un exo à part

Bah pourquoi t'aurais pas le droit au théorème du rang ?
En gros, Ker(phi) est un sev de R3, donc admet un supplémentaire dans R3.
u appartient à R3, mais pas à Ker(phi) puisque a²+b²+c²>0 car a,b,c non tous nuls, donc u appartient à son supplémentaire qui est de dimension un (cf th du rang), donc ce supplémentaire n'est rien d'autre que vect(u)