Bonjour, je bloque beaucoup sur cette notion...
On a 2 variables X et Y indépendantes et suivant toutes 2 une loi exponentielle de paramètre u.

Calculer la loi conditionnelle de X+Y sachant X.

En fait, le seul cas dans lequel je sais calculer une loi conditionnelle d'une variable Z sachant U, c'est quand le couple admet une densité Ou alors dans un cas discret.

Mais là je vois pas du tout.

Salut le but c'est que t'écrives avec Z =X+Y

E[f(Z)g(X)] = integrale(g(x)[[[integrale(f(z)p(z|x)dz]]]*p(x)dx

Et sinon tu connais la densité de (Z,X) avec Z = (X+Y) par le calcul :

p(z,x) = u²exp(-u.z)1x>0*1(z-x >0)

Je capte pas l'espérance que tu calcules la
Sinon je vois pas non plus comment tu calcules la densité du couple (X+Y,X)

Bah pour trouver la densité tu fais comme d'hab :
Tu prends 2 fonctions f et g mesurables bornées

E[f(X+Y)g(Y)] = Int(f(x+y)g(x)p(x)p(y)dxdy)
Ensuite tu fais le changement de variable z = x+y et après transformations
E[f(X+Y)g(Y)] = Int(f(z)g(x)p(x,z)dxdz) et p(x,z) est la densité du couple

Plutôt E[f(X+Y)g(X)] à gauche.

Justement pour trouver la densité du couple, faut pas plutot prendre une seule fonction et calculer E[f(X+Y,X)], parce que X+Y et X sont pas indépendants du coup ca complique tout.

Non mais tu t'en fous X et Y sont indépendantes par contre

Et puis objectivement, f(X+Y,X) c'est un peu comme f(X+Y)g(X) sauf que c'est "un peu plus général"