On dit que dim( K^n) = n.

Mais si on prend K=C, cela reste t'il vrai ?
Car C est de dimension 2 (partie réelle, partie imaginaire), non ?

Donc, dim(C^n)=2n ?

Quand on dit dim(K^n) = n, c'est en prenant la dimension par rapport au corps de base K.

C est de dimension 2 par rapport à R mais il est de dimension 1 par rapport à lui même.
C^n est de dimension n par rapport à C et 2n par rapport à R.

C'est ça.

Ok, merci.

Le 10 avril 2015 à 19:25:37 Dagnyr a écrit :
Quand on dit dim(K^n) = n, c'est en prenant la dimension par rapport au corps de base K.

C est de dimension 2 par rapport à R mais il est de dimension 1 par rapport à lui même.
C^n est de dimension n par rapport à C et 2n par rapport à R.

Heureusement que tu as fait l’ÉNS pour nous dire ça

Mais alors, c'est quoi la dimension d'un espace vectoriel ?

On nous a appris que la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal des bases de cet espace.
Cette définition devient fausse si on pose dim(C)=1, non ?

C est un C-espace vectoriel de dimension 1
C est un R-espace vectoriel de dimension 2

Avec C c'est assez simple a voir. On va simplifier:
-Si tu considère C comme un R-EV, tu as besoin effectivement de deux "vecteurs" de base: 1 et i (par exemple), puisque avec seulement x et y R, tu peux recréer tout C avec 1*x+i*y. Avec moins de deux c'est impossible -> Dimension 2 effectivement
-Si tu le considère maintenant comme C-EV tu as besoin que de 1 vecteur: 1 (ou i, ou pi/3, bref osef) parce-que avec x un élément de C, tu peux évidemment avec x*1 recréer C (En gros, pour tout x dans C, x est dans C...) -> Dimension 1
C'est con non?

Ah oui effectivement, c'est tout bête !

Merci à tout le monde.