Y a pas grand chose à comprendre, on essaie de rendre les calculs plus simples en réécrivant l'équation d'une manière plus jolie.
Bon, d'abord les identités remarquables :
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²-b²=(a+b)(a-b).
Ici y a rien à comprendre, faut juste apprendre. Tu peux facilement vérifier qu'il y a bien égalité entre les deux expressions.
Par exemple en prenant a=5 et b=4, on a :
(5+4)²=9²=81. Et 5²+2*5*4+4²=25+40+16=81
(5-4)²=1²=1. Et 5²-2*5*4+4²=25-40+16=1
5²-4²=25-16=9. Et (5+4)(5-4)=9*1=9.
Bon, maintenant pour simplifier les calculs :
Si je devais résoudre l'équation x²+2x+1=0. Ben mine de rien, c'est pas une équation si simple à résoudre : je peux pas vraiment isoler le x puisqu'il y a un carré qui se balade. Donc ça n'est pas une équation linéaire, or ce sont les seules équations que tu sais résoudre normalement.
La seule chose à faire, c'est piocher dans les identités remarquables. Pourquoi ? Parce qu'on va pouvoir transformer une somme (=une addition) en un produit (=une multiplication). Et on sait qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
On remarque via les identités remarquables que x²+2x+1=(x+1)².
On doit donc résoudre (x+1)²=0. Et là c'est beaucoup plus simple. De manière évidente, (x+1)²=0 si et seulement si x+1=0 et donc si x=-1.
Voila à quoi servent les identités remarquables : à se dépatouiller de calculs laborieux.
Là on a vu comment factoriser une équation. Mais parfois, il faut développer. En général c'est bien plus simple à faire, mais ça permet également de résoudre certaines équations beaucoup plus facilement.
Par exemple, si tu devais résoudre :
(x+4)(x-4)=25. Ben là c'est la merde. Tu sais résoudre des équations où on a un produit qui est égal à 0, mais on n'est pas dans ce cas là. Va falloir jeter un oeil à tes identités remarquables.
Tu te rends alors compte que (x+4)(x-4) c'est x²-4² c'est à dire x²-16.
Donc tu dois résoudre x²-16=25. Et là, maintenant que l'équation est sous forme développée, c'est beaucoup plus simple : x²-16=25 donc x²=25-16=9 et donc tu dois résoudre x²=9
Bon voila pour l'illustration. Les identités remarquables sont tout simplement des façons de calculer plus facilement.
Si t'es pas convaincu de ça, imagine tout simplement que je te demande
"Combien font 100²-99² ?". Sans t'aider des identités remarquables, tu vas galérer un moment à calculer ça (sans calculatrice, petit tricheur). Avec les identités remarquables, tu me réponds en quelques secondes que ça fait (100+99)(100-99)=199
