Bonjour,

J'ai un DM et je bloque sur une question. En gros j'ai une fonction polynôme f(x) de degré n à coefficient entiers relatifs définie par :

f(x) = a_n*x^n + a_n-1 * x^n-1 + ... + a_1*x + a_0, avec a_n différent de 0

Ensuite on suppose que a_0 est différent de 0. De même, on a p/q un rationnel irréductible tel que f(p/q) = 0. J'ai ensuite montré que : a_n*p^n = -q(a_n-1 * p^n-1 + ... + a_1*p*q^n-2 + a_0*q^n-1).

Maintenant, je dois montrer que q est premier avec p^n.

Pour que ce soit plus lisible, voici ce que j'ai fais :

Merci d'avance, car là je bloque vraiment ! ^^

Je crois que je l'avais fait en colle en sup cet exo
Dommage je m'en souviens pas et je suis nul en arithmétique

Retrouve moi tes réponses, et vite !

T'es fou ça date de presque 1 an je me souviens plus

Bon, j'ai refais ma démonstration par l'absurde. En gros, j'ai supposé que q et p^n ne sont pas premiers entre eux. Donc il existe k (entier relatif différent de 1) tel que k divise q et k divise p^n. Donc k divise q et k divise p*p*...*p. Donc k divise q et k divise p (cette étape j'ai un doute, c'est bon ?). Or q et p sont premiers entre eux. Donc k = 1 ou k=-1. CQFD

ton énoncé est pas vraiment clair... n est fixé? Si non, pourquoi pas essayer une récurrence?
Et ta dernière démo est fausse (8 divise 2^3 mais ne divise pas 2)

non n n'est pas fixé. Du coup je me demande comment on peut prouver que q est premier avec p^n. Tout ce qu'on sait, c'est que p et q sont premiers entre eux, ça c'est sûr. Et aussi que f(p/q) = 0, ainsi que a_np^n = -q(a_n-1 * p^n-1 + ... + a_1pq^n-2 + a_0*q^n-1).

Voilà.

Si j'avais l'info que p était premier ou q étant premier, ce serait simple...

Merci. J'ai pas vu le binôme de Newton en cours, mais je vais aller voir ça.

Sinon on note d un diviseur premier commun de q et p^n

d étant premier, s'il divise p^n il divise p (lemme d'Euclide). Donc d divise q et p qui sont premiers entre eux.

Mais en quoi ça montre que q et p^n sont premiers entre eux ?

Sinon, je l'ai démontré avec Bezout par récurrence. Par contre, on me dit qu'on peut le faire facilement avec Gauss (car on sait que p et q sont premiers entre eux). Mais j'arrive pas à voir comment.

Quelqu'un peut être pour aider ?

Pour la démonstration avec le lemme d'Euclide, c'est bon. Mais avec Gauss ? Des idées ? :/

Le lemme d'Euclide est un cas particulier du lemme de Gauss.

Si d divise p^n et s'il est premier avec p alors il divise p^(n-1). Par induction il divise p, contradiction. Donc d n'est pas premier avec p. Comme d est premier c'est que d divise p.

D'accord. Mon but est, je le rappelle, que si a et b sont premiers entre eux, alors a et b^n le sont aussi.

Voici ce que j'ai fais :
Soit b/a^n. On a b/a^n-1 * a
Or b et a sont premiers entre eux, donc par induction, b/a. Or b et a sont premiers entre eux. Contradiction. Donc b ne divise pas a^n.

Mais ça prouve pas que b et a^n sont premiers entre eux...

Tu as changé les notations du coup je ne comprends plus rien.

En bref on considère un diviseur commun à q et p^n qu'on suppose premier. Comme il divise p^n et qu'il est premier, c'est qu'il divise p. Donc un diviseur commun à q et p^n est aussi un diviseur commun à q et p et vice versa.