Bonjour
Si on a u un endomorphisme tel que im u = im u^2
Peut on dire que c'est une application constante ?

qu'entends-tu par application constante?
la seule application linéaire constante est x -> 0 (sinon, pas de linéarité possible)
et, par exemple, avec u = id, tu as u^2 = id^2 = id qui est bien un endomorphisme, ce qui te donne que im u = im u^2, sans pour autant avoir u constante

En gros la relation Im u^2 = Im u nous donne quoi comme info ?

ça dépend... si tu as une question précise, autant poser l'énoncé ici

Le résultat le plus général que l'on puisse en tirer : ( Résultat sur les noyaux itérés, un classique parmi les classiques en prépa )

Pour tout k entier superieur à 1 Im(u)=Im(u^k)

Imu et Keru sont supplémentaires.

Les rotations vérifient ton égalité.