Bonjour,

J'ai du mal avec quelques notions d’espaces vectoriels, j'espère que vous pourrez m'aiguillez

SI une famille est libre, est-elle donc ( par définition ) génératrice et est une base ?

Merci

Une famille peut être ni libre ni génératrice, libre mais pas génératrice, liée et génératrice, et enfin libre et génératrice dans ce cas c'est une base

Mais par exemple si je calcul le déterminant.

Je trouve qu'il est non nul et donc libre. Je peux pas dire que donc, elle est génératrice ?

Ah bah non, clairement pas.
Y aurait aucun intérêt à donner trois noms différents à une même chose, sinon.

Une famille est liée si les vecteurs qu'elle contient sont ne sont pas indépendants les uns des autres.
Autrement dit, si la famille contient les vecteurs e1; e2 et e3, alors tu vas pouvoir trouver des réels a et b tels que e1= ae2+be3.

Exemple :E=IR^3
la famille { (1;0;0); (0;1;0); (2;1;0) }. Cette famille est clairement liée, puisque (2;1;0)=2*(1;0;0)+(0;1;0).

Une famille est libre Si elle n'est pas liée. (Donc tu ne peux pas exprimer l'un de ses vecteurs en fonction des autres).
Exemple : la famille: {(1;0;0); (0;1;0) }.
Tu peux essayer d'exprimer (1;0;0) en fonction de (0;1;0) mais il est clair que tu n'y arriveras pas, c'est impossible.
Nb : une famille qui ne contient qu'un vecteur est forcément libre. De plus, si tu travailles dans un espace vectoriel de dimension n, alors toute famille libre possède un cardinal inférieur (ou égal) à n.
Mais attention, une famille de cardinal inférieur à n n'est pas forcément libre !

Une famille est génératrice d'un espace vectoriel E si tout vecteur de E peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille.
Exemple : (E=IR3 ) La famille G={(1;0;0); (0;1;0); (2;1;0); (0;1;1)} est génératrice de E.
C'est pas forcément évident à voir de prime abord, même si là j'ai volontairement pris un cas simple :
Pour montrer que G est génératrice de E, tu vas prendre un vecteur de E, que j'appelle x(a;b;c).
Le but c'est d'exprimer x en fonction des vecteurs de G.
Bon, ici il n'est pas trop dur de se rendre compte que (a;b;c)=a*(1;0;0)+c*(0;1;1)+(b-c)*(0;1;0).
Donc voila, tout vecteur x peut être exprimé en fonction des vecteurs de G, est G est génératrice.

Nb: si la dimension de E est n, alors une famille génératrice possède au minimum n éléments.
Mais une famille de n éléments n'est pas forcément génératrice.

Une base c'est une famille libre + génératrice.
L'exemple commun c'est la base canonique. B={(1;0;0) ; (0;1;0) ; (0;0;1) }.
La famille est libre car il est clair qu'aucun des trois vecteurs ne peut s'exprimer en fonction des deux autres.
Elle est aussi génératrice car (a;b;c)=a*(1;0;0)+b*(0;1;0)+c*(0;0;1).
C'est donc une base.
Nb : Si E est de dimension n, ses bases sont également de dimension n. C'est logique, d'ailleurs :
le cardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à n. Celui d'une famille génératrice est supérieur ou égal à n. Donc une famille libre et génératrice doit avoir un cardinal de n.

Maintenant, exemple d'une famille libre non génératrice :
La famille {(1;0;0);(0;1;0)} est libre, je l'ai montré plus haut.
On prend le vecteur (1;1;1). On ne peut pas exprimer ce vecteur à l'aide des vecteurs de la famille, donc elle n'est pas génératrice.

Exemple d'une famille génératrice non libre :
G={(1;0;0); (0;1;0); (2;1;0); (0;1;1)}
On remarque facilement que (2;1;0)=2*(1;0;0)+(0;1;0) donc la famille n'est pas libre.

Merci grandement ! , je vais potasser ton message :D

Ah oui, un truc important que j'ai oublié de préciser :

Tu prends un espace vectoriel E de dimension n.
Tu prends une famille F de cardinal n.
Alors, si F est libre, F est génératrice.
Et si F est génératrice, alors F est libre.

Cardinal ? Kesako, jamais vu ce mot x)

Tu pourrais donner un exemple please ?

Bah c'est super simple. Le cardinal c'est le nombre d'éléments dans l'ensemble.

Donc, le cardinal de IR, c'est +oo.
Le cardinal de l'ensemble vide, c'est 0.
Le cardinal de [0;1] c'est +oo.
Le cardinal de { 1; 2;5 } c'est 3.
Le cardinal de { (1;2) ; (3;4) } c'est 2.
Etc etc

Si une famille dans R² par exemple, si elle a deux vecteurs alors elle libre ? C'est bien ça ?

Nope.
J'ai bien précisé que c'est une implication qui n'est valable que dans un sens.
Dans R², une famille libre possède deux vecteurs (ou un vecteur).
Exemple : { (0,1) ; (1;0)} est libre. Et {(1;1)} est également libre.

Mais une famille qui possède deux vecteurs n'est pas forcément libre.
Exemple : {(1;1); (2;2)}

Si la famille possède 2 vecteurs non colineaire elle est donc libre ?

Dans IR², ouais.
C'est la définition de famille libre au final.
Et vu que la famille possède deux vecteurs, qui est la dimension de IR², alors c'est aussi une base.

Je te remercie beaucoup !

Pour être tout à fait franc, j'ai un mal de chien a avoir la notion de "c'est une base donc etc etc" alors que les méthodes calculatoires ça va au poil

Petite correction à ce qu'a dit mon VDD : une famille composée d'un seul vecteur est libre... sauf si le vecteur en question est le vecteur nul. Une famille contenant le vecteur nul sera toujours liée.
(Je pense qu'on peut faire des blagues avec les mots "famille", "nuls" et "liée", mais j'ai un peu la flemme pour l'instant.)