Bonjour,
j'ai un exercice de maths sur les espaces vectoriels mais je ne sais pas trop comment procéder.
Soit u1 = (0,1,2,-1), u2 = (1,0,2,-1), u3 = (3,2,2,-1), u4 = (0,0,1,0), u5 = (0,0,0,1). Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
i) Vect (u1, u2, u3) = Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)
ii) (1,1,0,0) appartient à [Vect(u1,u2) inter Vect(u2,u3,u4)]
iii) Vect (u1,u2) + Vect (u2,u3,u4) = R4

C'est plus des soucis de méthode, je ne sais pas trop comment procéder.

i) Vect (u1, u2, u3) = a u1 + b u2 + c u3 = (b+3c,-2a+2c,-2a+2b+2c,a-b-c)
Après je ne sais pas exprimer Vect(1,1,0,0), (-1,1,-4,2)
Ni comment traduire cette égalité.

ii) A t-on Vect(u1,u2) inter Vect(u2,u3,u4) = Vect (u2)
Je suppose que non.
Jai écrit Vect(u1,u2) = (b,a,-2a+2b,a-b)
Vect(u2,u3,u4) = (b+3c,2c,2b+2c+d,-b-c)
Ensuite, que dois-je faire ? Résoudre un système ?

iii) Vect (u1,u2) + Vect (u2,u3,u4) = Vect (u1,u2 union u2,u3,u4)

Merci de votre aide. (Je viens de commencer les espaces vectoriels d'où le manque de méthode)

Tu es d'accord avec moi que Vect(quelque chose) est un espace vectoriel ? Donc toute Comb. Liné. des vecteurs qui lui appartient donne un élément qui lui appartient aussi.

Si tu prouves donc que u1, puis u2 puis u3 appartiennent tous à Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2), alors toute combinaison linéaire de u1 u2 et u3 appartient à Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2).

Donc Vect(u1,u2,u3) est contenue dans Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2).

Est-ce que ça t'aide ?

Il faut l'inclusion réciproque après.

Évidemment, mais faut déjà qu'il comprenne ça avant de passer à la suite.

Si on se met à tout lui déballer d'un coup il va s'y perdre, déjà que c'est pas forcément évident à comprendre ce que j'ai dit donc bon.

Pour ii, tu pourrais aussi voir si il appartient au premier puis au deuxieme pour dire si il est dans l'intersection ou pas.

Ok merci j'ai réussi 2 du coup
On a que (1,1,0,0) = u1 + u2 = -1/2 u1 + 1/2 u3

Par contre pour le i, je comprends bien ce que tu dis mais j'arrive pas a décomposer avec Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)

Merci !

Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2) = a(1,1,0,0)+b(-1,1,-4,2), a et b réels quelconques. = (a-b,a+b,-4b,2b)

En fait je ne comprends pas trop la notation
Vect(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)
C'est écrit comme ca avec ce parenthésage. Ca me semble bizare. J'ai l'impressionnant que c'est un espace vectoriel + le vecteur (-1,1,-4,2)

C'est pour ça qu'on note généralement
http://i.gyazo.com/b04437acdec22876e707609034c553a2.png

Vect( ) est ce qui permet d'obtenir l'espace vectoriel engendré par ce qu'il y a dans les parenthèses

{ } est une famille de vecteurs, une sorte de liste de vecteurs

(1,1,0,0) c'est le vecteur en lui-même

La notation c'est souvent Vect(u1,u2..) alors que toi Kaiser_Franck ta notation c'est Vect u1,u2

Merci bien !

Et pour la iii) une idée ?
Parce que je ne peux pas faire comme si c'était Vect(u1,u2,u3,u4)

Si si tu peux.

Ah bon ?!
Donc en gros d'après toi
Vect (u1,u2) + Vect (u2+u3,u4) = Vect (u1,u2,u3,u4)

C'est du cours normalement

Faut se poser la question: ça veut dire quoi l'opérateur "+" quand on travaille avec des espaces vectoriels

Le +, c'est une espèce de "mise en commun" de tous les éléments, qui reste un espace vectoriel (parce que l'union n'est pas toujours un espace vectoriel).

Si ça ne te paraît pas clair, refais la démonstration proprement, en repartant des définitions, c'est le meilleur moyen de s'approprier les concepts.

Très bien merci!

Sinon dans un autre exo, il faut que je détermine un vecteur u appartenant à R^(n) tel que F inter G = Ru
Le problème c'est que je ne comprends pas la notation Ru (R est écrit comme l'ensemble des réels).

Ru = {k*u, k réel} = Vect(u), c'est juste la droite engendrée par u.