Bonjour,
Si F est une base de R3, on peut dire F = R3 ?
Si non pourquoi ?
Merci

Non non !

Si F est une base de R^3, alors:

les éléments de F ne peuvent pas être exprimés comme combinaisons linéaires les uns des autres (F est libre)

tout élément de R^3 est une combinaison linéaire des éléments de F (F est génératrice de R^3)

Mais c'est pas pour autant que tout élément de R^3 appartient à F.
Tu comprends ?

IR^3 c'est un ensemble au cardinal infini, on y trouve une infinité d'éléments.

Si je prends la base canonique de IR^3, B={ e1=(1 0 0) ; e2=(0 1 0) ; e3=(0 0 1) }, alors cette base est un ensemble qui contient uniquement 3 éléments ! Donc il est clair que ça n'est pas IR^3.

Par exemple le vecteur (1;1;1) est dans IR^3, mais tu vois bien qu'il n'est pas dans B.

Tout ce qu'on peut dire c'est que (1;1;1) peut-être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de B. (1;1;1)=e1+e2+e3
En fait, IR^3 est l'espace vectoriel engendré par ses bases.

A ce moment la, comment faire pour prouver que la somme de deux sev de R3 vaut R3 : F+G = R3
Moi j'ai écris F+G = Vect (u,v) avec F=Vect(u) et G=Vect(v)
on pose w = (x,y,z) = au + bv
Puis connaissant les vecteurs u et v je resous le systeme et trouvant des solutions je dis F+G = R3

Alors c'est impossible, car une base de R^3 a exactement 3 éléments

Donc comme {u;v} a deux éléments, il ne peut pas être une base de de R^3

Le 03 mars 2015 à 23:12:04 Kaiser_Franck a écrit :
A ce moment la, comment faire pour prouver que la somme de deux sev de R3 vaut R3 : F+G = R3
Moi j'ai écris F+G = Vect (u,v) avec F=Vect(u) et G=Vect(v)
on pose w = (x,y,z) = au + bv
Puis connaissant les vecteurs u et v je resous le systeme et trouvant des solutions je dis F+G = R3

T'es en train de dire que R3=vect(u;v).
J'ai même pas besoin de connaître la valeur de u et v pour te dire que c'est faux. vect(u;v), ça sera un espace vectoriel de dimension inférieur ou égale à 2 (puisqu'une famille de deux vecteurs le génère).
En revanche, IR^3 est un espace vectoriel de dimension 3.

Au final, pour prouver que deux sev F et G de R^3 sont tels que F+G = R^3, tu peux par exemple montrer que Base(F)UBase(G) est générateur de R^3