Bonjour,

Alors voilà, j'ai besoin de votre aide car je bloque sur une question, et je vois pas comment faire. Je poste directement une photo du sujet (parce que les matrices sinon c'est la galère à écrire) :

En gros je bloque sur la question 8. Le reste c'est bon, mais cette question y'a pas moyen de trouver. Si quelqu'un peut m'aider, je vous en remercie !

On n'a pas les notations du début de l'exo, mais je pense que tu dois avoir [P(n+1); Pn] = A^n*[P1; P0]. Du coup tu remplaces A^n par l'expression trouvée à la question précédente et tu peux en déduire P_n.

Pardon, voici le début de l'exo :

(désolé pour les ratures :D )

En fait je vois pas trop comment trouver Pn. A partir de A^n. Mais la matrice P dans l'expression de A^n, n'est pas celle de Pn. Quel est le lien ? Enfin, je comprends pas trop là. x)

Tu prends l'expression de la question 1, tu remplaces A^n par ce que t'as trouvé à la question 7 et ça te permet d'en déduire P_(n+2) et P_(n+1), et donc P_n.

Ah d'accord, merci. Je vais tester voir ce que ça donne.

J'ai encore besoin d'un peu d'aide. En gros, bien sûr, j'arrive là :

Mais après j'ai l'impression qu'il faut pas développer. Ca me semble bizarre quand même de développer puisque je vais retomber sur A^n(p2 p1) quoi, j'imagine. Donc comment faire ? Je bloque là. ^^

Et puis le "pour tout n" me fait penser à une récurrence. Dois-je partir sur ce chemin-là ?

D c'est une matrice diagonale donc D^n c'est pareil que D sauf que les coefficients diagonaux sont à la puissance n.

D'accord. Mais lorsque j'ai (Pn+2 Pn+1) en fonction de PD^nP^-1 et la matrice (P2 P1), je vois pas bien où faut aller. Développer une nouvelle fois l'ensemble. J'ai déjà l'expression de PDP^-1, je pense qu'il faut s'en servir. Mais je vois pas comment. Et une fois que j'ai Pn+2 et Pn+1 en fonction de n (c'est ce qu'on veut non ?), je trouve Pn avec l'expression Pn+2 = 2Pn+1 + Pn. C'est ça ?

Enfin là je bloque surtout à quoi faire. Développer encore toute l'expression ? Ca me semble bizarre.

PS : Merci beaucoup de prendre le temps de m'aider Morphisme !

(le point-virgule sépare les lignes des matrices 2x1)
Ca te fait [P_(n+2); P_(n+1)] = P D^n P^(-1) [P2;P1], et tu développes tout du côté droit. Si tu veux éviter d'enchaîner les calculs, tu peux remarquer "astucieusement" que P D^n P^(-1) c'est la même chose que PDP^(-1) en remplaçant lambda1 et lambda2 par lambda1^n et lambda2^n.
Et après en effet tu peux en déduire P_n avec l'expression de récurrence.

Bon, désolé de te re-déranger, en fait j'ai développé l'expression, et finalement j'arrive ici (pour P_n+2 et P_n+1 respectivement) :

L'expression est un peu dégueu. Alors au pire jpeux déjà sortir le 1/2sqrt(2) devant la matrice, mais bon ça changera rien au fait que les deux expressions soient dégueu. Et je vois pas comment simplifier ça. C'est normal que j'arrive à ça ? Et du coup je fais quoi ? Je laisse ça comme ça et essaye de trouver P_n à partir de l'expression de récurrence ?

Voilà, j'ai essayé de simplifier, ça me donne ça :

A partir de là, je vois pas trop comment faire, dois-je laisser les expressions comme ça et commencer à utiliser la relation P_n = P_n+2 - 2P_n+1 ?

En fait si tu veux la "easy way out", tu peux prouver que l'expression de P_n qu'on te donne correspond bien aux valeurs de P_0 et P_1 et que la relation de récurrence est vérifiée
Mais oui je pense que tu peux utiliser la relation sur tes expressions un peu compliquées et chercher à factoriser pour simplifier.

Ouais mais vu que la récurrence je galérais pour l'hérédité, j'ai testé la solution "tout développer". ^^ Là j'arrive à là pour P_n :

Mais finalement je dois avoir juste Gamma1^n - Gamma2^n dans la l'expression entre crochet. Et je vois pas comment faire à partir de là. x)

Pour la récurrence, tu ferais comment toi ? Parce qu'en gros pour l'hérédité, je bloquais net. Fallait prouver que P_n+1 = blabla (l'expression de P_n avec n+1) mais j'avais aucune idée du comment faire.

T'y es presque je pense dans ton expression de Pn, si tu remplaces 2*lambda1+1 et 2*lambda2+1 ça doit se simplifier.

Bah pour la récurrence tu fais une récurrence forte en fait : tu supposes que P_n = bidule jusqu'au rang N+1 et tu calcules P_(N+2) en prouvant que tu obtiens le bon truc.

Quand je remplace les expressions Lambda1 et Lambda2, je trouve ça :

A mon avis je suis pas loin, mais y'a un truc qui bloque.

Je ne suis pas sympathique au point de me plonger dans ces expressions dégueu (qui viennent de l'exercice, j'en suis convaincu ), donc voilà la version cheap de la récurrence qui utilise directement la formule qu'ils te balancent à la question 8 :

H_N : "Pour tout n<=N, P_n = (l'expression de la question 8)"
Initialisation : On vérifie H_2 (ça revient à calculer P_1 et P_2)
Hérédité : On suppose que H_(N+1) est vrai et on prouve H_(N+2). Pour ce faire, on pose P_(n+2)=2P_(n+1)+P_n puis on remplace les expressions du terme de droite par ce que la question 8 te donne en bidouillant pour tomber finalement sur 1/(2sqrt(2))*[lambda1^(n+2)-lambda2^(n+2)].