Bonsoir tout le monde ! Je voulais vous proposer un exercice intéressant.

1. Soit n un nombre impair. Montrer que n² est congru à 1 modulo 8, puis que n^4 est congru à 1 modulo 16, puis que n^8 est congru à 1 modulo 32.
2. Généraliser, puis en déduire que pour tout nombre p premier strictement supérieur à 17, p^16 est congru à 1 modulo 16320.

Indication : SpoilAfficherMasquerPour le 2, utiliser le lemme chinois.

Allez, bon planchage !

N=2k+1
Si k pair avec k=2x
N^2=16x^2+8x+1 donc n^2 congru 1 modu 8 si k pair
Si k = 2y+1
N = 4y+4 = 4(y+1)
N^2 = 4k^2+4k+1=4(4y^2+4y+1)+8y+4+1=16y^2+16y+4+8y+4+1
Donc dans tous les cas n^2 congru 1 modu 8