Salut,

Je cherche à démontrer que l’espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p est de np, sans utiliser les factoriels, ou linéariser l'espérance. J'ai lu qu'il y avait plusieurs solutions mais je n'ai pas tout compris.

Merci

C'est quoi les autres solutions que tu as vues et que tu comprends pas ?

Ça doit vouloir dire utiliser la linéarité de l'espérance.

La méthode qu'a énoncé blupoint je ne vois pas par exemple ?

Si X suit une loi binomiale(n,p), alors X a la même loi que Y_1 + ... + Y_n où les Y_i sont des variables indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p.
Donc E(X) = E(Y_1) + ... + E(Y_n) = n*E(Y_1) = n*p.

Donc Y_1 = Y_2 = Y_3 = .. = Y_n ?

Non, mais elles ont la même loi donc la même espérance.

Non mais E[Y1] = E[Y2] = .... E [Yn] = p

Hmmm je vois et E[Y1] E[Y2] + ....+ E [Yn] = nE[Yn] = pn?

Merci!