Hello tout le monde! :D
Bon, comme l'indique le titre, j'ai quelques problèmes avec les nombres complexes (les bases j'ai compris, mais dès qu'on pousse un peu j'ai du mal...
J'ai un DM de maths à faire pour la rentrée, et pour mon plus grand malheur le prof' à décidé de mettre que des nombres complexes...

J'ai donc du mal pour l'exercice 3, du mal à comprendre la démarche en fait...
L'énoncé :
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que
1/ ze^(iπ/3) soit réel

2/ | conjugué de z - 3 + 5i | = √3

3/arg(z-i) = -π/4 (mod π)

Pour le 1/ j'ai essayé quelque chose mais j'imagine que c'est faux :/ :
Donc je suis passé de la forme exponentielle à la forme trigonométrique :
ze^(i π/3) = z(cos π/3 + isin π/3 )
Puis je suis passé à la forme algébrique car on connait les valeurs de cos π/3 et sin π/3

Donc ça fait (1/2)*z + (√3/2)*zi
Or on sait que z = x+yi donc j'ai remplacé z par x+yi (avec x et y réels)

Je trouve donc (1/2)*x + (√3/2)*xi + (1/2)*yi + (√3/2) * y

Or dire que ze^(i π/3) est réel, ça veut dire que ça partie imaginaire vaut 0
Donc (√3/2)*z = 0 . C'est à dire que ((√3)*x + y) / 2 = 0 donc que (√3)*x + y = 0
Mais après je sais pas quoi faire :/

2/ Donc bah j'ai remarqué que le cercle de centre 3+5i et de rayon √3 est l'ensemble des points d'affixe conjugué de z .
Or comme conjugué de z = x - yi on en déduit que le cercle de centre 3 -5i et de rayon √3 est l'ensemble des points d'affixe z.

3/Je sais pas comment faire :/

Alors voilà, j'ai l'impression de me planter complétement, c'est sûrement le cas d'ailleurs ^^ Mais c'est vraiment pas de la mauvaise foi, j'ai cherché partout pour trouver des exemples similaires mais j'ai rien trouvé... Je demande pas la réponse, mais le cheminement pour y arriver (et pourquoi pas une confirmation du résultat ahah :p )

Merci d'avance à ceux qui répondront et bon nouvel an! :D

1) C'est bien ça, il te reste plus qu'à conclure que l'ensemble recherché est la droite d'équation sqrt(3)*x + y = 0, ou si tu préfères y = -sqrt(3)*x.

2) Attention, conj(z) - 3 + 5i = conj(z) - (3 - 5i).
Là tu justifies pas vraiment, utilise le fait que | conj(Z) | = | Z |, donc l'équation que tu as peut se réécrire :
| z - 3 - 5i| = sqrt(3), et là tu reconnais l'équation d'un cercle.

3) Interprète arg(z-i) comme l'angle entre deux vecteurs (lesquels ?).

Oooh merci, j'étais vraiment désespéré! C'est super sympa de ta part d'avoir répondu aussi vite!
Me reste plus qu'à chercher pour la question 3! Encore merci :DDD

Bonjour!
J'up le sujet, parce que finalement, je n'arrive toujours pas la dernière question...
A savoir :
3/arg(z-i) = -π/4 (mod π)

J'imagine qu'il faut nommer A le point d'affixe i et déterminer l'angle (u; AM) (vecteurs) mais j'y arrive pas :/

Un petit up! :p

C'est assez dégueu oui.

perso je serais parti sur la base de : a = |a|.exp(i*arg(a))
ici : z - i = |z-i| exp(i*arg(z-i)) = sqrt(z²+1) . exp(i*arg(z-i))
au carré : (z-i)² = (z²+1).exp(2 arg(z-i))
avec 2 arg(z-i) = -pi/2 mod 2pi
d'où (z-i)² = (z²+1)*exp(-i pi/2) = (z²+1)*(-i)
et après tu résous, c'est du second degré

c'est sûrement moins classe que la solution de prauron mais ça marche assez bien

edit : j'ai delete mon post sans faire exprès mais je le reposte du coup, j'espère qu'il y a pas de faute

mais du coup prauron j'vois pas trop comment tu aurais résolu ça, c'est quoi l'idée avec les deux vecteurs?

et jsuis vachement sceptique sur mon raisonnement du coup, doit y avoir une couille parce que ça donne pas assez de solutions... bref jsuis nul en maths #psi5/2

Le 02 janvier 2015 à 20:11:41 Prauron a écrit :
C'est assez dégueu oui.

Attend, j'ai pas compris là

MecaFlu Tu sais, je suis pas vraiment meilleur C'est gentil de proposer quand même et d'essayer d'aider ahah :p Je vais regarder ce que t'as fait demain, mais t'es sûr que ça marche pas?

Vraiment pas d'idées sinon?

Je propose ceci :
arg(X) = -pi/4 [mod pi] <=> arg(X) = -pi/4[mod 2pi] ou arg(X) = 3pi/4[mod 2pi]
Comme ces deux mesures sont celles de deux angles supplémentaire on en déduit que les images possibles de X constituent une droite passant par l'origine du repère (éventuellement privée de celui-ci étant donné que arg(0) ne semble pas être la mesure d'un angle ?). Le coefficient directeur de cette droite est sin(3pi/4) / cos(3p/4) = -1.
Donc X est solution si et seulement si Re(X) = -Im(X) =/= 0
Reste à poser X = z-1

Ah oui j'avais pas du tout pensé à une approche comme ça! Bah écoute, je vais essayer ça, au pire je vous tiens au courant et je vous donnerai la correction si ça vous interesse :p