J'avais galéré aussi au début. Pour que la centrale fonctionne il faut :
1) Construire la centrale 
2) Construire des relais électriques, soit un relai par "quartier", surtout les plus éloignés
3) Avoir la ressource nécessaire pour faire fonctionner la centrale : c'est-à-dire du charbon pour la thermique (la moins chère et plus polluante) de l'uranium pour la nucléaire (la plus puissante) et aucune pour la géothermique (la plus chère mais pratique ) qu'on obtient dans les temps moderne.
4) Il est aussi fortement recommandé de la faire tourner à fond car sinon les coupures peuvent être nombreuses. Donc il faut le maximum ou presque de personel et un budget au maximum. (5 billets)
Pour savoir si l'électricité arrive bien dans toute l'île, vous cliquez sur une centrale et si l'île est verte c'est que ça marche, si elle est rouge c'est que non.
Et il est possible qu'après les 4 points précédents, votre île soit rouge. Si c'est le cas, c'est tout simplement parce que votre centrale tout juste construite ne produit déjà pas assez pour toute la population, une 2è centrale sera donc nécessaire.
A noter enfin que toute votre île se retrouvera sans électricité dès que la ressource (charbon/uranium) n'arrivera pas à la centrale. Donc pensez à avoir un centre de transporteur pas loin. Et pensez aussi à booster les capacités de vos mines (y'a une amélioration "brise roche" pour chacune d'entre elles et aussi un décret de prospection minière).
Pour m'être arrivé, les centrales consomment pas mal de ressources, donc vos mines s'épuisent et si vous n'avez pas boosté ses capacités, la mine est vite vidée. Pas de ressources = pas d'électricté = usines fermées, maisons dans le noir = rébellion énorme qui vous dégage du pouvoir !
Et même une importation de masse coûteuse avec 2 ou 3 bâteaux ne permet pas de bien approvisionner une centrale