La solution écrite ci-dessus est la bonne !
Je pense même pouvoir expliquer le problème en détail, même si attention, ça reste des suppositions : si vous tapez "Club Dresseur" sur Google, et que vous cliquez sur le premier lien, vous devriez tomber sur un message d'erreur 409.
Pourtant, c'est la page qui permet de se connecter à votre compte PTC.
Du coup, pourquoi ça le fait uniquement chez vous, quand vous êtes connectés en WiFi ?
En gros, le soucis vient du fait que l'appli bug tellement depuis la MAJ des arènes, que même à la maison on a tendance à énormément reboot l'appli, du coup à chaque fois que vous redémarrez le jeu, vous envoyez une requête au site pokemon.com pour vous identifier. Si vous avez beaucoup relancé PoGo, le site croit peut-être à une attaque ou en tout cas, considère que le nombre de requêtes est excessif, et il bannit (temporairement j'espère) votre adresse IP.
Du coup, il faut soit utiliser un WiFi avec IP dynamique, ou un WiFi autre que celui sur lequel vous vous connectez habituellement, ou encore utiliser les données mobiles, pour vous connecter.
En revanche, dès que le jeu est lancé, sans quitter l'appli, vous pouvez vous remettre en WiFi, et le jeu fonctionnera, à condition de ne pas le redémarrer !