Bon, j'ai cru à plusieurs reprises être niqué puisque ça freezait dans le menu de réinstallation, mais en fait.... La manette s'était juste éteinte ! 
Donc sinon, tout refonctionne à merveille ! J'ai désactivé les mises à jour auto pour éviter d'autres soucis du genre.
Donc, pour vous en sortir, voilà comment faire :
Maintenez enfoncées la touche BIND (LIER) (située sur le côté gauche de la console) et la touche EJECT (ÉJECTER) (située sur l'avant de la console), puis appuyez sur la touche Xbox de la console.
Continuez de maintenir les touches BIND (LIER) et EJECT (ÉJECTER) enfoncées pendant 10 à 15 secondes.
Guettez deux tonalités de « démarrage » à quelques secondes d'intervalle.
Remarque Si vous n'entendez pas deux tonalités de démarrage au bout de 15 secondes, cela signifie que l'opération a échoué. De même, si vous entendez des bruits de « mise hors tension », cela signifie également que l'opération a échoué.
Vous pouvez relâcher les touches BIND (LIER) et EJECT (ÉJECTER) après la deuxième tonalité de démarrage.
Choisissez une réinstallation d'usine, choisissez de conserver vos jeux, et voilà, le tour est joué !