Pour tous ceux qui ont ce problème, une solution qui va paraître débile mais qui fonctionne : cliquez comme des fous sur le bouton d'activation. Je sais qu'il y a de quoi être sceptique, mais ça semble fonctionner pour pas mal de monde, moi compris.
Technique trouvée sur des forums anglais (par exemple : http://www.tenforums.com/windows-updates-activation/9399-after-upgrade-windows-10-cannot-activate-error-code-0xc004f034-10.html)