Pour développer un modem (modulateur/démodulateur) converti un signal analogique (une ligne téléphonique) en signal numérique (des bits). Autrement dis il permet de recevoir internet sur une ligne téléphonique.
Un routeur route du trafic de données sur un réseau local, il attribue des adresses réseau de façon automatique (DHCP) et fait de la traduction d'adresses réseau (NAT) pour que ton PC puisse avoir accès à internet et puisse communiquer avec les autres périphériques du réseau local (iphone, console de jeu, tablettes, pc fixe, laptop).
La livebox fait tout cela ; elle permet de traduire un signal analogique en signal numérique (modem) gère du trafic réseau (routes) et fait de la traduction d'adresses (NAT). La livebox est donc un modem/routeur au même type que les autres box ADSL.