Voici un pavé :
Définition heuristique d´un système chaotique [modifier]
Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :
le phénomène de sensibilité aux conditions initiales.
une forte récurrence.
La présence de ces deux propriétés entraine un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s´opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique, qui furent lontemps les symboles d´une régularité toute puissante en physique théorique. La dynamique quasi-périodique d´un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes de notre système solaire autour du Soleil ; souvenons-nous que Voltaire, lui-même introducteur de la mécanique de Newton en France au XVIIIe siècle, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger » ...
Qu´est-ce que la « théorie du chaos » ? [modifier]
Au cours de son histoire, la physique théorique s´était déja trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l´échelle microscopiques (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l´équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu´on s´aperçut à la fin du XIXe siècle qu´une dynamique d´une grande complexité pouvait résulter d´un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté[1], pourvu qu´il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.
La théorie du chaos s´attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée[2].
La théorie du chaos est-elle née dans les années 1970 ? [modifier]
La réponse à cette question est : oui ET non.
Non, car le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du XIXe siècle par Henri Poincaré dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste, puis par Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd´hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entrainé un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans la paragraphe Développements historiques situé plus loin.
Oui, car ce n´est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s´est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n´a d´ailleurs été introduit qu´en 1975 par les deux mathématiciens Li et Yorke[3]. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s´explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l´informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l´incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d´absorber le formalisme mathématique idoine.
Attracteur étrange de Lorenz (1963)A titre d´illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d´images produites par la théorie du chaos ; il s´agit ici d´un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et baptisé depuis « attracteur étrange ». (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz & la météorologie.)
Mais la théorie du chaos n´est pas une discipline de contemplatifs, seulement émerveillés par la vision des belles images en couleurs générées par leur ordinateur préféré ! C´est une véritable théorie scientifique, qui a su trouver de l´ordre caché sous le désordre apparent. Mais ce nouvel ordre est très différent de l´ordre ancien : au déterminisme implacable d´une dynamique intégrable quasi-périodique a succédé une description de nature fondamentalement probabiliste [4], caractérisée par l´existence d´invariants prenant la forme de mesures de probabilités, d´attracteurs, de dimensions fractales, ... Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernées par ce changement de paradigme, afin de répondre à l´intuition de Platon (reformulée par James Gleick) :
« (...) derrière les formes visibles et particulières de la matière doivent se cacher des formes fantomatiques qui leurs servent de modèle invisible [5] ».
Le déterminisme, de Laplace à Poincaré (Préhistoire) [modifier]
Pour approfondir, voir l´article Déterminisme.
La stabilité du système solaire [modifier]
Pour approfondir, voir l´article Problème à N corps.
Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme par exemple le système : { Soleil - Terre - Lune}, supposé isolé du reste de l´univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l´un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du système solaire vers l´infini.
Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne ; en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s´est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace, qui crut avoir prouvé la stabilité du système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Malheureusement, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s´est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l´évolution des idées qui distingue la pensée de Laplace de celle de Poincaré.
Notion de système dynamique différentiel conservatif [modifier]
Pour approfondir, voir l´article Système dynamique.
Pour un système possédant n degrés de libertés, l´espace des phases Γ du système possède n dimensions, de telle sorte que l´état complet du système à l´instant t est en général un vecteur à n composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type[6] :
où la fonction f définit le système dynamique étudié (c´est en général également un vecteur à n dimensions, c´est à dire un ensemble de n fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale x0 un et un seul état final x(t). Il faut pour cela qu´il existe une application bijective de l´espace des phases sur lui-même telle que :
Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur Γ, c´est à dire un groupe continu à un paramètre φt. Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu´au flot géodésique.
Laplace, ou le déterminisme triomphant [modifier]
Fort des succès obtenus en mécanique céleste, Laplace écrit en 1814 dans l´introduction de son Essai philosophique sur les probabilités[7] :
« Nous devons donc envisager l´état présent de l´univers comme l´effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d´ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l´analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l´univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l´avenir comme le passé serait présent à ses yeux.
L´esprit humain offre, dans la perfection qu´il a su donner à l´Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l´ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l´intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l´espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux, et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles et font leur véritable gloire. »
Ce texte aujourd´hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d´existence et d´unicité de la solution d´une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, voir jamais.