Solution :
Nous appelons système l’ensemble des échelles et des cordes.
Désignons S(n) : Il y a n cordes dans le système.
S(n) est vrai si chaque singe dans ce système obtient exactement une banane..
Première Marche :
-->On a S(0) : Il y a aucune corde dans le système.
Alors S(0) implique qu’il n’y a que les 5 échelles dans le système. Donc chaque singe grimpera en haut de son échelle sans pouvoir interagir avec les 4 autres singes, et obtiendra sa banane, sans en avoir d’autres.
Donc S(0) est vrai.
-->On a S(1) : Il y a une corde dans le système.
La corde relie donc 2 échelles, notées A et B. Le singe de l’échelle A grimpe jusqu´à ce qu’il rencontre la jonction de la corde et de l’échelle A, suit la corde, et continu son parcours sur l’échelle B. Le problème est symétrique pour le singe de l’échelle B. Donc, après que les singes aient parcourus la corde, le nombre de singe par échelle est conservé. La situation est la meme que si il n’y aurait pas eu de corde.
Donc S(1) est vrai.
Marche inductive :
Admettons que S(k) est vrai. Prouvons que S(k+1) doit l’être aussi.
S(k+1) revient a dire qu’il y a une corde de plus que dans le système a k cordes. Puisque S(k) est vrai, cela suppose qu’un et un seul singe passera par chacun des nœuds de cette nouvelle corde.
Imaginons qu’a chacun des nœuds de cette nouvelle corde, il ne passe qu’un et un seul singe.
La corde k+1 du système S(k+1) relie donc 2 échelles, notées A et B. Le singe de l’échelle A grimpe jusqu´à ce qu’il rencontre la jonction de la corde et de l’échelle A, suit la corde, et continu son parcours sur l’échelle B. Le problème est symétrique pour le singe de l’échelle B. Donc, après que les singes aient parcourus la corde, le nombre de singe par échelle est conservé, et la situation est telle qu’il n’y a qu’un seul singe par échelle, et puisque S(k) est vrai, S(k+1) l’est aussi.
De plus, on est sur qu’il ne passe qu’un et un seul singe a chaque nœud. En effet, le contraire suppose que soit 2 singes arrivent au même endroit, ce qui suppose qu’ils proviennent du même point de départ, ce qui est absurde, ou qu’aucun singe n’arrive a ce point, ce qui veut dire qu’un singe n’a pas de points de départ, ce qui est tout aussi absurde. Puisque S(k) est vrai, alors il ne passe qu’un seul singe a chaque nœud de la nouvelle corde S(k+1)
Et le résultat s’en suit par induction.