Il n´existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle.
* Supposons qu´il existe un élément x = p/q de + ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c´est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .
on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q²
* Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi.
* Comme 2 divise p , il existe donc un entier naturel p´ tel que p = 2p´ mais alors p² = 4p´² c´est à dire 2q² = 4p´²
* on a 2q² = 4p´² par conséquent q² = 2p´² , donc q² est un multiple de 2 ou encore 2 divise q² donc 2 divise q.
* 2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l´hypothèse : p et q sont premiers entre eux.
En conclusion :
Il n´existe pas de rationnels positifs dont le carré est 2, donc il n´existe pas non plus de rationnel négatif dont le carré est 2 sinon le l´opposé de ce nombre serait un rationnel positif dont le carré serait 2.