T'as raison dans le fond 
En fait le terme "Sniper" est utilisé pour qualifié un tireur embusqué, de l'autre camp. Ça peut être un TE/TP ou même un random qui tient une position stratégique seul par exemple.
Un tireur d'élite ça va de 800 à 1800m (les records vont jusqu'à 2200, mais c'est plus de l'exploit perso que la condition d'engagement)
Un tireur de précision ça va entre 400 et 1200.
Le TE est aussi bien utilisé contre de l'infanterie que contre des blindés (12,7 ou .50) alors que le TP est surtout utilisé contre l'infanterie.
On est TP avant de pouvoir être TE.
C'est très grossièrement résumé mais ça vous donne déjà les bases 