Salut,

Un exemple vaut mieux que des mots, prenons la conservation de la masse dans le cas d'une densité constante, pour un volume donné V :

Integrale sur V de {divergence du vecteur vitesse} = 0

Comment peut-on affirmer (comme cela se fait partout dans la littérature, mais sans arguments) que l'intégrande vaut zéro, càd que la divergence du vecteur vitesse est nulle.

Pour dire cela il faudrait que le terme de l'intégrande ne change jamais de signe, ce qui me semble pas être le cas ici, non?

Ca doit être une histoire d'égalité valable pour un volume quelconque, donc que le seul moyen d'avoir l'intégrale égale à 0 pour n'importe quel volume est que l'intégrande soit nulle.

Ok mais du coup la conclusion que divergence(u) = 0 est une restriction que l'on fait pour rester le plus générale, mais qui n'est pas forcément nécessaire dans tous les cas, et alors on perd des possibilités de solutions

Nope, elle est bien équivalente à la nullité de la famille d'intégrales int_V div(u) dV où V parcourt l'ensemble des volumes sur lesquels il est raisonnable d'intégrer. L'équivalence a d'ailleurs lieu sur une classe très large de fonctions, aussi large que ce qu'on peut raisonnablement réclamer, donc non, on ne perd rien.

(Je rente pas trop dans les détails volontairement, vu que la régularité des fonctions a pas l'air de trop te parler. )

Non je suis loin d'être un boss en math, mais par contre je dis pas non si tu peux en dire un peu plus. Tant pis si je comprend pas.

En particulier, "les volumes sur lesquels il est raisonnable d'intégrer" me semble un concept un peu flou pour avoir une application mathématique (donc rigoureuse) ^^

Les boréliens de R^3 peut-être...

Du calme, DU CALME

Je plaisante. Mais je sais pas ce que sont les boréliens de R³, et je devine que wikipédia ne va pas m'aider.

C'est pas grave, mais l'essentiel c'est qu'on peut donner un sens mathématique à "les volumes sur lesquels il est raisonnable d'intégrer", et que l'ensemble de ces volumes contient tout ceux que tu peux imaginer (y'en a d'autres mais faut vraiment les choisir exprès).