La première :
que vaut : x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ..... ?

La deuxième :
Montrer que e=2.7182... (easy celle-là)

La troisième si vous la trouvez y a moyen vous gagnez des millions no-cake :
On part d'un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.
Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2… C'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre 14.
Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.
Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini.
Y a-t-il un exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse pas à 1 et, par suite, au cycle trivial ?

Bon pour la troisième n'importe qui possédant un minimum de culture mathématiques (ça existe ce truc ? ) saura que c'est difficile de s'y frotter mais les commentaires là-dessus sont toujours bienvenues

gagner au loto est completement aleatoire sinon depuis le temps tout les genies seraient millionaires

Oui work-hunter, bien vu. D'ailleurs y avait un gif qui montrait ça et qui permettait d'éliminer facilement tous les nombres de 0 à 100 qui amènent au cycle trivial mais faut que je le retrouve

Pirlout qui fait ça d'une facilité déconcertante

Bravo

ouais enfin pour la 1 c'est faux (au sens classique de la limite) et pour la 2 ça répond pas à la question

oui on peut définir une certaine notion de convergence qui donne un sens à certaines limites, comme celles dont tu parles. N'empêche qu'au sens classique ça converge pas, et que donc le 1-1+1-1+ ... = 1/2 est faux pour ce qu'on utilise tout le temps (sauf dans certains cas très particulier où en effet on aura le droit d'être moins rigoureux dans la manipulation des séries. Mais si on reste avec les notions "normales", ça diverge bel et bien)
Me dire que c'est pas une limite mais une somme infinie c'est un peu n'importe quoi

Quant à la deuxième, ça n'est pas parce qu'un nombre est irrationnel qu'on ne sait pas en donner une valeur approchée. En l’occurrence un moyen simple est en effet de trouver une suite ou une série qui converge vers e, mais pour l'exploiter et donner une valeur approchée avec un nombre de décimales données il faut s'intéresser à un peu plus que la simple convergence de la suite ou série en question (qui ne dit pas à partir de quel rang on a une valeur approchée à la précision voulue)

x=1+2+3+4+.... vaut -1/12 ?????? mais, d'où ça sort

Enfin, connaissant Pirlout (pas personnellement, hein XD, mais ça fait un moment que je traine ici), on peut lui faire confiance.

ça n’empêche que ça m'intrigue.

Autant, x=1-1+1-1+1-1+... = 0.5, ça peut se comprendre par le fait que la valeur de x oscille entre 0 et 1 en fonction de où on s'arrête, et donc que la valeur moyenne (si j'ose dire) de la limite lorsqu'on fait tendre le nombre de terme vers l'infinie, est de 1/2. ça parait parfaitement logique. Et ton raisonnement, Pirlout, est tout à fait judicieux.

Mais la valeur de x=1+2+3+4+5... = -1/12 . Je ne vois même pas comment l’interpréter. En toute logique, x est positif, et tend vers l'infini lorsque le nombre de terme tend vers l'infini. Pourquoi -1/12 ? Je vois le raisonnement derrière (qui doit être du même type que tu as utilisé pour 1-1+1-1+1 ... etc), sans pour autant être capable de le reformuler dans ce cas ci. Mais la logique derrière m'échappe totalement.

Il y a des truc bizarre parfois en maths. C'est surement pour ça que je me cantonne au maths appliqués

P.S.: t'es sûr que c'est pas plutôt x=1-2+3-4+5... ? ça paraitrait plus logique d'après moi. Après, je dit peut être des bêtises (c'est même fort probable)

Non c'est bel et bien de la somme non alternée des entiers naturels dont il parle. Mais encore une fois, tout comme le 1-1+...=1/2, ça ne s'interprète pas de la même manière qu'avec les limites que l'on manipule en général (sinon la somme tendrait bien vers l'infini, et celle des 1-1+1... divergerait aussi).

on peut comprendre d'où ça sort ici, par exemple:
http://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/

ok, merci. Je suis tombé sur cette même page juste après avoir posté dites donc ^^.

Et j'avais bien mis le doigt sur la solution au problème du 1+2+3+4... en posant l'autre problème 1-2+3-4+5...

Bref, tout ça est expliqué sur cette page. Ce site a l'air génial en tout cas ^^.

Dans tous les cas ça revient à prendre une autre définition de la notion de limite que celle habituelle

les deux sommes dont tu parles divergent bien au sens usuel...

C'est de l'analyse complexe, on peut trouver un prolongement analytique de ζ sur le plan complexe pour que ça converge en -1, et en l'occurence ça vaut -1/12.

Pour le prolongement analytique, faut passer par l'équation fonctionnelle qui fait appel à la fonction gamma, et là on peut calculer notre série.

Du coup c'est assez tordu comme conception de dire que la somme vaut -1/12, mais l'important est qu'en physique ça permet de virer une singularité, sinon mathématiquement derrière tout ça se cachent la théorie des formes modulaires et des courbes elliptiques.

Quand on écrit 1-1+1-1... implicitement c'est le procédé de sommation usuel, c'est-à-dire la limite des sommes partielles. Et donc ça diverge, point, pas la peine de s'embarquer dans des prolongements analytiques.

Et puis ça n'a pas de sens de poser x = 1+1-1+..., c'est comme si on écrivait x = lim en +oo de sin(t).
C'est toute la différence entre écrire Sigma((-1)^n), qui désigne la série, et Sigma(n=0,+oo,(-1)^n), qui n'existe pas puisque la série diverge.
Du coup la démonstration x = 1-x donc x = 1/2 ne tient pas du tout, on manipule des quantités qui ne sont pas clairement définies.

Pour la 2) il suffit de calculer les premières sommes des 1/k! pour avoir très rapidement une approximation très précise de e.

Quant à la 3), on sait même pas si c'est décidable...