Qui peut ici prouver mathématiquement de manière assez rigoureuse la proposition suivante :

"Le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite"

Le premier qui arrive à me faire la démonstration, il gagne la promesse que j'essaierais de la comprendre.

"Le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite" pas certains Prends une feuille, dessine deux points dessus. Le trajet le plus court entre ces deux points est obtenu en pliant la feuille pour que les deux points se superposent . Haaaaaaa la distorsion de l'espace-temps

Si vous me chercher

* (je suis sorti tellement vite que j'ai pas fini mon poste précédent)

VDD

...Mon hypothèse est que c'est impossible.

Mais comme je ne suis pas un spécialiste, je pose tout de même la question.

il me semble que ça fait partie des axiomes d'euclide.

En gros ça revient à une définition, c'est donc indémontrable.

C'est comme si je demandais:

Prouvez-moi qu'un triangle a trois côtés.

Par contre dans l'autre topic dans l'histoire du triangle rectangle tu parles d'arbitraire là où il n'y en a pas. L'arbitraire n'existe que lorsque qu'il y a un choix, fait là où un autre aurait pu être tout aussi convenable. Cela ne s'applique pas à la démonstration mathématique dans lequel toutes les implications d'une assertion doivent être vérifiées.

Sinon pour ce qui est de se questionner sur "le chemin le plus court" c'est un excellent exemple de problème mathématique justement (tu n'as pas très bien choisi pour ton argumentation ). D'abord le mot court se réfère à une quantité en général une longueur ou un temps de parcours, dans les deux cas une donnée mathématique. "plus court" mentionne l'emploi d'une relation d'ordre, notion parfaitement mathématique encore une fois: égalité, supériorité, infériorité, supériorité stricte, infériorité stricte.

Et pour finir:
le chemin le plus court n'est la ligne droite que dans un plan en géométrie euclidienne, si on se place sur la Terre par exemple, il s'agit d'une portion de géodésique : http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9od%C3%A9sique

En fait, si, il s'avère que c'est un exemple parfait pour mon argumentation tant que absolument personne ( même par MP ) n'a résolu ce problème. Et tu ne l'as pas résolu non plus, mathématiquement. N'y vois vraiment aucune agression, hein Je parle juste franchement. Tu ne me donnes aucune réponse mathématique.

Et tu le dis toi même dans ta deuxième phrase "En gros ça revient à une définition, c'est donc indémontrable. "

Si c'est indémontrable, c'est que mon exemple (pour l'autre topic ) est parfait. Ma thèse reposait ( mais ne reposait qu'en partie ) sur la possibilité que cette proposition est indémontrable mathématiquement. Et même sur le forum astronomie, ils ont encore du mal

J'ai lu en diagonale et ça me semble pas mal:

http://www.instant-analysis.com/Principles/straightline.htm

Et non par contre, je ne vois pas pourquoi ce serait indémontrable ni même une définition.

En partant de l'équation de la distance entre deux points et en posant comme contrainte de la minimiser, on obtient l'équation satisfaisant cette contrainte, à savoir celle d'une droite.

Autre lien:

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations#Example

C'est simplement de la recherche d'extrema comme le dit JvJ. Ce sont des mathématiques assez basiques.

Oui alors en fait il apparait que plusieures méthodes existent, comme celle-ci :

http://www.math.univ-toulouse.fr/~lassere/pdf/longueurcourbe.pdf

Mais ça dépasse mes compétences. Comme vos sources. Dommage pour moi.

Je viens d'ouvrir ton lien Apachoid. Sérieusement, toutes ces équations me donnent limite des nausées

Comme je te disais pas MP. Ca depend de quel definition de distance tu utilise. Il y a plein de definition de distance differente. En general, les gens utilisent la distance L2 parceque c'est celle qui modelise le mieux la notion de distance dans l'espace physique que l'on observe. Si tu as les points A=(xA, yA) et B=(xB, yB), la distance L2 est defini comme: L2(A,B)=sqrt((xA-xB)^2+(yA-yB)^2). Avec la norme L2 il est facile de montrer qu'il n'y a pas de point C tel que L2(A,B) > L2(A,C)+L2(C,B). C'est un peu long et fatiguant a ecrire pour montrer que cette equation n'a pas de solution mais ca se derive. Avec ca tu montre qu'il n'y a pas de chemin [AC],[CB] qui soit plus court que [AB]. Par recurence, tu peux montrer que tout chemin qui est decomposable dans une somme finie (denombrable) de segments commencant en A et finissant en B n'est pas plus court que [AB].
Il reste tous les sommes indenombrable et les chemin courbes a montrer. Et la il faut sortir les arguments a base d'integrale linker au dessus qui sont penible a lire pour montrer ca.

peut être un peu plus simple:

A=(xA, yA) et B=(xB, yB)

En utilisant la même norme 2:

Montrer que:
Quelque soit le point C du plan vérifiant L2(A,B) >= L2(A,C) + L2(C,B), C est sur la droite (AB)

godrik et Wise_Troll, cette norme 2 me pose problème, j'ai pas un niveau suffisant en math. Mais en fait vos explications/démonstrations s'articulent autour de la négation. Vous arrivez au résultat par élimination si j'ai à peu près compris ?

non, dans mon cas pas vraiment, voici une explication sur la norme 2, puis à la fin de mon post, un truc que tu peux essayer pour refaire mon raisonnement sans t'encombrer avec des calculs compliqués

Si tu traces un repère othonormée sur une feuille = deux vecteurs orthogonaux de même norme, c'est à dire perpendiculaire et de même longueur (même si on emplois pas tout à fait ces termes dans ce cadre). Soit un vecteur pour l'axe des ordonnées et un pour l'axe des abscisses (souvent appelés axes x et y). Tes deux axes seront perpendiculaires, et une coordonnée de 1 sur un axe sera espacé d'autant par rapport à l'origine que 1 sur l'autre axe.

Si tu traces tes vecteurs d'une longueur de 1 cm chacun. Comment mesure-tu la distance entre un point A (xA ; yA) dessiné sur ta feuille et l'origine du repère (point O), de coordonnée (0;0) ?

Et bien tu prends une règle et tu mesures, par exemple 3 cm, et bien cette distance est la norme 2 du vecteur, qu'on note généralement: ||OA|| (avec une flèche sur OA), le calcule est celui qu'a présenté godrik.

Si veux connaître la distance sur ta feuille entre deux points A et B tu peux soit utiliser le calcul de la norme 2 soit mesurer avec ta règle dans les deux cas le résultat est le même.

Voici mon raisonnement que tu peux faire juste en dessinant avec un crayon et une feuille:

Maintenant que tu as un point A et B sur ta feuille, cherche tous les endroits où tu peux placer un point C (ou plus de points encore si tu veux ) tels que quand tu passes par C tu obtiens le plus court chemin entre A et B. Si tu n'as pas de contrainte particulière (courbure de la surface comme dans le cas de la Terre, bâtiment à contourner dans le cas d'une ville, ligne de chemin de fer à suivre dans le cas d'un train,etc...) alors C sera forcément placé sur le segment [AB] et de ce fait appartiendras à la droite (AB).

en fait oui la façon dont je viens de la présenter pourrait revenir d'une certaines façon à procéder par élimination,

mais quand tu le fais avec le calcul c'est plus rapide et sûr (et rigoureux surtout) et tu tombes directement sur l'équation d'une doite, donc tu ne procèdes pas vraiment par élimination

Apachoid, cette norme L2 est la distance "clasique" utilise dans le monde reel. Il y a une infinite de fonction de distance qui est defini. wikipedia donne les conditions qui font d'une fonction de deux points d'un espace (note le UN espace, il y a plein d'espace definissable en math) dans [1]. Et il donne des exemple dans un espace euclidien dans [2]. La norme L1 est celle que j'ai appelle aupartavant la distance de manhattan. Si tu considere la distance de manhatan, il y a plein de trajet different qui sont des plus court chemin (c'est a dire qu'ils ont tous la meme longueur).

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Distance#General_case
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Distance#Distance_in_Euclidean_space