Bonjour a vous,

Je viens vers vous aujourd'hui pour une question stupide. Je n'arrive pas a mettre de sens a un exposant quand il est reel. Si on prends la fonction f(x) = e^x. On voit bien ce que c'est que f(x) pour x entier, c'est la puissance classique e*e*e*e... On a une interpretation "calculatoire" avec x un nombre rational: on ecrit x comme p/q et f(x) est la racine q-aire de x^p.

Est ce qu'il y a une interpreration simple quelconque de e^x pour x un reel non rationel? La seule definition propre de ce truc la que je trouve est ce se rappeller que c'est l'inverse de logarithme, mais ce n'est pas bien satisfaisant.

En particulier, j'essaye de donner du sens a une application exponentiel a base negative de R dans R. Et c'est chelou ce truc. Pour x a rationel a denominateur impair c'est bien defini. Si le denominateur est pair, la fonction n'est pas defini. Mais quid des autres reels qui ne sont pas rationel?

Merci de vos avis,

Erik

D'abord, la fonction puissance a une définition :
x^a = exp[a ln(x)]

A partir de là, je pense que c'est plutôt le point de vue inverse qu'il faut prendre. Cette fonction n'a pas vraiment d'interprétation pratique, sauf dans le cas où a est un entier.

Vouloir définir e^x à partir du nombre e c'est un peu prendre le problème à l'envers. On définit d'abord la fonction exponentielle (par une des définitions équivalentes qui existent) et ensuite e = exp(1). Après effectivement, pour un entier n, exp(n) coïncide avec e*e*...*e, grâce à la propriété de morphisme de l'exponentielle. Et donc on s'autorise la notation e^n, que l'on conserve pour tout réel x en notant e^x.

Ensuite concernant l'exponentielle de base quelconque, on la définit comme exp(x*ln(a)), ce qu'on note a^x (pour la même raison que l'on note e^x), pour a > 0.

Enfin, la fonction puissance notée x^a, est définie pour x > 0 par exp(a*ln(x)). Cependant, si a est rationnel et s'écrit sous forme irréductible p/q, avec q IMPAIR, on peut prolonger cette fonction sur R tout entier. Par exemple pour a = 1/3 on obtient la fonction racine cubique, qui est une bijection de classe C-infini sur R.
En revanche, si a ne vérifie pas ces conditions, x^a n'est a priori défini que pour x > 0. (ou alors faut rentrer dans des trucs plus tordus genre fonctions multivaluées)

Est-ce que j'ai à peu près répondu à ta question ?

olrikisback, pour tout exposant rationnel, il y a une interpretation pratique avec une racine q-aire. C'est un peu etrange mais ca se fait.

Prauron, tu veux dire que les exponentielle a base negative ne sont defini que par extension des exponentielle a base positive? Par ce que clairement la definition x^a = exp(a ln(x)) n'est pas defini pour x negatif ou nul.

Juste pour préciser la façon dont on fait le prolongement sur R- dans le cas où q est impair :
- si p est impair, pour x < 0, on pose f(x) = -f(-x) et la fonction prolongée est ainsi impaire, et bijective. Exemple : x^(1/3)
- si p est pair, pour x < 0, on pose f(x) = f(-x) et la fonction prolongée est donc paire. Exemple : x^(2/3), qui est le carré de la précédente.
Dans les deux cas, on pose f(0) = 0, et on obtient une belle fonction infiniment dérivable sur R.

"Prauron, tu veux dire que les exponentielle a base negative ne sont defini que par extension des exponentielle a base positive?"

Pour moi la fonction exponentielles de base a c'est a^x, ie exp(x*ln(a)), donc pour a < 0 ça n'existe carrément pas. Les fonctions x-> x^a sont des fonctions puissance mais pas des exponentielles, même si on peut les définir à partir de la fonction exponentielle.

"Par ce que clairement la definition x^a = exp(a ln(x)) n'est pas defini pour x negatif ou nul. "

En effet, c'est pour ça qu'on ne définit ces fonctions pour a quelconque que pour x > 0. Et après sous certaines conditions sur a, on peut prolonger sur R-.
Mais sinon, si tu écris x^a avec a réel quelconque et x<0 je sais pas le définir, à moins de passer par un log complexe.

mmm, je vois.

Pour donner un peu de contexte, je cherchais a matcher une fonction "f(x) = a * b^x" a deux points x,f(x) que je connais. Et je me retrouve avec deux solutions possible. L'une d'entre elle avec une base negative. D'ou mon interet a trouver une interpretation de ce truc la.

Salut,
Comme déjà dit, classiquement quand on passe des puissances non rationnelles aux puissances rationnelles on utilise l'exponentielle pour la définir. Ca n'est pas obligatoire, même si en pratique c'est beaucoup plus simple.
Tout nombre réel est limite d'une suite de nombre rationnels. On peut prendre la suite basique de l'approximation décimale.
Par exemple, Pi=3 + 0,1 + 0,04 + 0,001 + ...
Et pour définir a^Pi (a positif quelconque a priori), tu peux faire de la même suivante:
a^Pi = a^(3 + 0,1 + 0,04 + 0,001 + ...)
=a^(3) * a^(0,1) * a^(0,04) * a^(0,001) * ...
Tu obtiens un produit infini dont tu peux interpréter chaque terme en "puissance de racine n-ième"

A condition de montrer que ce produit infini converge bien (avec interdiction de passer au log puisqu'on veut justement s'affranchir de son utilisation) et que le résultat obtenu est indépendant de la suite de rationnels choisie.