La fission nucléaire consiste tout simplement à fissionner des atomes. En gros tu prends un gros atome, tu le fissionne, et tu obtiens des atomes plus petits. C'est tout bête (quoique bien plus compliqué si on rentre dans les détails).
Alors comment ça se fait qu'on tire de l'énergie de cette transformation alors que ta cuisine n'explose pas quand tu coupes ta pomme en deux ?
Hé bien, comme tu le sais sans doute, les atomes sont composés d'électrons, de protons et de neutrons, ces deux derniers étant regroupés sous le terme de nucléons (car ils forment le noyau de l'atome tandis que les électrons gravitent autour d'eux).
Ce qui est en revanche un peu plus difficile de se représenter, c'est que ces nucléons possèdent une énergie de liaison. C'est une énergie qui fait en sorte que les différents nucléons restent "unis" entre eux dans un seul noyau, plutôt que d'aller se balader ailleurs. Il faut savoir que cette énergie de liaison est extrêmement grande, que l'on peut calculer grâce à la fameuse formule E=mc² (E étant l'énergie de liaison, m la masse, et c la célérité de la lumière dans le vide, 3*10^9 m/s). On trouve par exemple qu'un gramme de matière représente 90 000 milliards de joules. Énorme !
Alors pourquoi est-ce important ? Hé bien, lors d'une fission nucléaire, les liaisons entre les nucléons se retrouvent brisées, ces derniers finissant par former de nouveaux atomes, plus petits et plus légers. Seulement, dans le processus, une partie des liaisons entre nucléons est perdue, et c'est cette énergie-là que l'on récupère.
Voilà, j'espère ne pas avoir été trop compliqué... C'est difficile de faire un compromis entre rigueur scientifique et vulgarisation !
Voici également une explication d'un autre site de Wikipédia si ça peut t'aider. Le dessin avec la balance est assez explicite je trouve, il montre en fait que l'énergie de liaison des nucléons représente une certaine masse, que celle-ci est plus faible à l'arrivée qu'au départ, et que nous on récolte la différence :
http://www.laradioactivite.com/fr/site/pages/unegrandeenergieliberee.htm