Salut !

en ce moment je me posais quelques questions en mathématiques et je me demandais si l'un d'entre vous pouvaient essayer d'y répondre

Alors tout d'abord, par rapport au raisonnement par l'absurde, je me demandais ce qui nous prouvait que c'était bien la dernière supposition que l'on avait faite qui était fausse et non une supposition antérieure. Je me suis un peu renseigné et je n'ai rien trouvé de bien satisfaisant...

Ensuite, par rapport a la notion de continuité uniforme, notre prof de maths nous a expliqué que cette définition était sujette à controverses puisqu'elle serait artificielle et uniquement destinée a faire fonctionner d'autres notions mathématiques (comme l'intégration). Vous avez d'autres infos sur le sujet ?

Ensuite, un peu moins important : je sais qu'il y a des différences entre les maths pratiquées en France et celles pratiquées a l'internationale. Ces différences sont elles vraiment importantes ou ne sont elles finalement que superficielles ?

Et finalement, j'aimerai bien lire quelques ouvrages traitant de maths. Vous avez des conseils, sachant que je suis en prépa MPSI ? En particulier, j'aimerai savoir s'il existait des ouvrages commentés et appliquant un regard critique sur les travaux de mathématiciens (en particulier sur les débuts de l'analyse avec Newton et Leibniz), à la façon d'une oeuvre littéraire (le texte original (traduit) affublé de notes et d'un dossier) ?

Merci

PS : Désolé pour les possibles fautes de frappes ou de langage, je suis sur mobile.
PS2 : j'espère ne pas m'être trompé de lieu pour poser ce genre de questions

Dans un raisonement par l'absurde, tu ne dois faire qu'une seule supposition.

Les differences entre les maths en france et a l'etranger est comment les maths sont enseigne. Les notations changent par exemple. Mais les resultats sont les meme

Je ne suis pas sûr du tout de ce que tu dis a propos du raisonnement par l'absurde. Par exemple j'ai un triangle : je suppose d'abord qu'il est rectangle. Ensuite je suppose qu'il a deux angles de 50° : on aboutit à une contradiction : mais quelle est l'hypothèse qui amène la contradiction : les angles de 50° ou le triangle rectangle ?
C'est évidemment la mesure des angles qui est fausse, mais quel est le théorème qui va me permettre de l'affirmer ?

La seule chose que cela te dit est qu'une des hypotheses est fausse. Donc tu commences par examiner la plus rafine des hypothese.

Oui, mon exemple n'était pas vraiment très bon... et tu as raison Blue-Koala
Ce que je veux dire, c'est que je considère que rien n'est sûr en maths : on part de suppositions (les axiomes) et on montre une suite d'implication. Vous êtes bien d'accord ?
Ensuite si on aboutit a une contradiction suite à une supposition, qu'est ce qui nous permet d'affirmer que c'est bien de là que provient l'erreur et non pas d'une cause plus profonde que l'on avait pas remarqué jusque là ?

Ah, sinon je viens de me demander si vous connaissiez un programme, ou un site web qui contiendrait une sorte d'arborescence des maths, qui indiquerait pour une propriété donnée le plus de moyens connus de la démontrer. Par exemple on pourrait se placer dans une théorie particulière et l'outil sortirait un arbre qui partirait des axiomes pour arriver a la propriété en particulier.

Merci du temps que vous passez à me répondre

En partant d'une affirmation correcte tu ne peux pas aboutir par une suite d'implications correcte à un résultat faux. Si c'est le cas c'est que l'affirmation de départ était fausse.

Il n'y a pas de faille dans les maths, sinon c'est que le système d'axiomes n'est pas bon. Dans un système donné tu pourras jamais réfuter un axiome à partir des autres.

Donc en gros tu affirmes qu'il n'existe aucune contradiction entre les axiomes des théories actuelles ?

Donc en gros tu affirmes qu'il n'existe aucune contradiction entre les axiomes des théories actuelles ?

Ou alors que si on en découvre une, il faudra repenser les axiomes. J'ai juste ? Désolé pour le triple post, ce n'est pas ce que je voulais faire

S'il y a une contradiction entre les axiomes la théorie n'est pas consistante. Mais il a été prouvé que la théorie ZF (celle couramment utilisée en maths) est consistante. On peut aussi ajouter certains axiomes (ou leur contraire) sans que ça change la consistance de la théorie, l'axiome du choix par exemple, ou l'hypothèse du continu.

J'espère ne pas raconter de bêtise.

Ah tant que j'y pense, les lois de la logique sont des axiomes ?
Alors ça signifie qu'on peut prouver la validité du raisonnement par l'absurde à partir d'elles, tout comme on peut prouver la validité du raisonnement par récurrence, n'est-ce pas ?

D'après cette page : fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_logique on peut déduire n'importe quelle loi logique à partir des 6 formules et 2 règles énoncés en bas de la page. Or le principe du tiers exclu ne me semble pas y figurer c'est a dire qu'on pourrait le déduire de ces règles...

Ou alors je n'ai rien compris à l'explication, c'est une possibilité plus que probable...

J'ai l'impression que tu envisages les maths comme une science destinée à approcher le réel et dont des pans, à l'instar des modèles physiques/biologiques/etc. pourraient être lorsqu'on estime juste de le faire, être mis de côtés, critiqués ou repensés. Les maths se suffisent à elles mêmes, on se donne des définitions et des axiomes basiquement et roulez jeunesse. Comme l'a dit Prauron tu peux avoir des insconsistances mais ce sera toujours un problème de "conception" si je puis dire étant donné que les maths ça n'est que ça et rien d'autre : un truc totalement inventé.

Les outils sont ensuite utilisés par des sciences type physique dont là l'objectif est, toujours en créant un univers de règles totalement inventées, de réussir à interfacer ça au mieux avec le "monde réel" et les observations.

Vous avez fait un chapitre type logique des propositions, manipulation de quantificateurs, d'ensembles, en début de sup ? Normalement quasiment tous les profs le font et c'est genre le truc fondamental, si il ne fallait garder qu'un chapitre de ton cours, c'est celui là, et il répondra pendant longtemps à nombre de questions existentielles que tu pourras te poser. Et si il fallait brûler des cours, c'est globalement, sans vouloir troller et en prenant ça avec un peu de second degré, tout ce que tu as fait avant au lycée.

Hum, j'ai pas du tout le sentiment d'envisager les maths comme ceci... Par contre c'est vrai que j'ai toujours l'impression que les maths sont plus "réelles" que les autres disciplines qui me paraissent beaucoup plus artificielles et moins naturelles

Par rapport à mes questions, c'est simplement que ça me gène un peu de faire des démonstrations sans comprendre pourquoi ça fonctionne.

" Vous avez fait un chapitre type logique des propositions, manipulation de quantificateurs, d'ensembles, en début de sup ?"
Oui, évidemment, mais on a accepté plein de truc sans les démontrer, par exemple le raisonnement par récurrence. C'était du type : "une proposition, c'est quoi" puis l'énonciation de tout plein de connecteurs logiques (et de leurs propriétés pour la plupart admises ou démontrées par des "tables de vérité" (la aussi, aucune preuve sue c'est un mode de raisonnement qui fonctionne)) et enfin les quantificateurs...

Kientz Tout à fait d'accord avec toi, je suis actuellement en 1ère scientifique, mais je m'intéresse depuis 2 ans et demi déjà aux programmes post-bac, et évidemment, le calcul différentiel, le calcul intégral, la topologie, la théorie des groupes, etc.. je comprend qu'à peine 1 quart, mais n'empêche qu'avec tout ce qui est quantificateurs, ensembles, morphismes etc.. j'ai eu une idée de ce qu'étaient réellement les mathématiques (et pas la plupart trucs plutôt inutiles qu'on nous apprend avant ça), et depuis 2 ans, j'en suis tombé amoureux

Oui, mais c'est des méthodes, comme par exemple résoudre une équation de degré 1,2, ou 3; ou encore calculer une dérivée, etc.. Mais il y a des trucs comme des stats etc.. qui comptent beaucoup moins et pourtant qui prennent une grande place dans le programme.

Dans la vraie vie ça compte beaucoup plus aussi.