le duche, tu avais prouvé sur un autre post que 1= 0.999999999999999

mais 0 = infini si on considère le raisonnement:

1 = 1
1 = (-1) + 2
1 = (-2) + 3
1 = (-3) + 4
1 = (-4) + 5
...
Et ainsi de suite...

En ajoutant membre à membre toutes ces inégalités, nous obtenons :
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + 4 + (-4) + 5 + ...

Dans l´expression de droite tous les termes s´éliminent deux à deux, soit :
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = 0

L´expression de gauche composée d´une somme infinie de termes égaux à 1 tend vers l´infini.
Ainsi 0 est égal à l´infini.

Et pourtant 0 n´est pas égal à l´infini. Alors où est l´erreur ?

L´erreur est dans ton equation jeune homme!
1 = 1
1 = (-1) + 2
1 = (-2) + 3
1 = (-3) + 4
1 = (-4) + 5
...
1 = (-n-1) + n

n etant un entier naturel.

Donc:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1 + (-1) + 2 + (-2) + 3 + (-3) + 4 + (-4) + 5 + ... + (-n-2) + n-1 + (-n-1) + n

On remaque que tout s´elimine SAUF n! Et oui:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n
Ce qui est parfaitement logique!

bravo!

mais il existe un autre problème du meme genre mais pourtant il ne manque pas n:tout entier est égal à 1!

raisonnement:

Nous partons de la formule de la somme des termes d´une suite arithmétique (vue en 1ereS)

Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 (*)
L´égalité est vraie pout tout n, écrivons la au rang n-1 :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n-1 = (n-1)n/2

Soit en ajoutant 1 de chaque côté :
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + 1 = (n-1)n/2 + 1

Soit encore:
Pour tout entier n, 1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)n/2 + 1 (**)

D´après (*) et (**) :

Pour tout entier n, n(n+1)/2 = (n-1)n/2 + 1
Pour tout entier n, n(n+1)/2 = [(n-1)n + 2]/2
Pour tout entier n, n(n+1) = (n-1)n + 2
Pour tout entier n, n2 + n = n2 - n + 2
Pour tout entier n, n = -n + 2
Pour tout entier n, 2n = 2
Pour tout entier n, n = 1.

Conclusion, tout entier est égal à 1.

Et pourtant tout entier n´est pas égal à 1. Alors où est l´erreur ?

Tu écris que :

1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n-1 + 1 = 1 + 2 + ... + n

mais le menbre de droite est égal à :

1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n

donc le menbre de gauche est égal au menbre de droite si et seulement si n-1=0 ie n=1 . Cette égalité n´est donc pas valable pour tout n mais juste pour n=1. Tu as donc prouvé que 1=1 ce qui à vu de nez est vrai.

Bien vu pieronorman !

J´ai encore mieux ! (mais un peu plus compliqué)

Soit S = (1/1)-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+(1/7)-...
Alors 2S = (2/1)-(2/2)+(2/3)-(2/4)+(2/5)-(2/6)+(2/7)-...
On simplifie les fractions, donc =>
2S =
(2/1)-(1/1)+(2/3)-(1/2)+(2/5)-(1/3)+(2/7)-(1/4)+..
.
On réarange en regroupant les termes de meme dénominateur, donc =>
2S =
(2/1)-(1/1)-(1/2)+(2/3)-(1/3)-(1/4)+(2/5)-(1/5)-(1
/6)+...
On soustrait les termes de meme dénominateur, donc =>
2S = (1/1)-(1/2)+(1/3)-(1/4)+(1/5)-(1/6)+...
donc 2S = S
et dans ce cas, S = 0.

D´autre part,
S = (1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+(1/7-1/8)+...
Donc S = 1/2+(qqch > 0)+(qqch > 0)+(qqch > 0)...
Donc S > 1/2

On a donc prouvé que 1/2 > 0

Petite faute de frappe,

On a donc prouvé que 0 > 1/2

pas mal

pas vraiment.

Pour des raisons assez complexe tu n´a pas le droit de modifier l´ordre des termes dans une somme infini (lorsque tu regroupe les termes de même dénominateur).

La preuve, c´est que si tu le fait tu trouve que 0>1/2 qui est faux, donc on ne peut pas modifier l´ordre des termes (c´est en soi une démonstration). Mais bon, il y a de véritables raisons caché dans l´étude des séries.

D´après (*) et (**) :

Pour tout entier n, n(n+1)/2 = (n-1)n/2 + 1
Pour tout entier n, n(n+1)/2 = [(n-1)n + 2]/2

heu, y´a pas plutôt 2n à la place de 2 dans le deuxième ligne -_-´ ... ou même à la première ligne, y´a pas +n plutôt que +1

dnob700 je sais bien ou est l´erreur mais ce qui est très drole avec le cas que j´ai donné, c´est que tout le monde peut comprendre le raisonnement et voir qu´il y a une merde, mais il faut avoir fait des math supérieures pour savoir où et pourquoi...

c´est meme l´exemple qu´on m´a donné au cours il y a deux ans...