Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à saisir la définition de compacité pour un espace vectoriel normé. On dit qu'un espace vectoriel normé V est compact si de tout recouvrement de V par des ouverts, on peut en extraire un sous-recouvrement fini c'est-à-dire que

pour tout ouvert u_i (i dans I)

on a

V est inclus dans l'union pour i dans I des u_i

il existe un J un sous-ensemble de I tel que

V est inclus dans l'union pour i dans J des u_i

De là, on conclut que les compacts sont les fermés bornés. Mais je ne comprends pas, pourquoi on arriverait à recouvrir [a,b] par des ouverts mais pas ]a,b[?

Merci pour votre réponse.

L'equivalence n'est valable qu'en dimension finie déjà. Ensuite c'est pas qu'on peut par recouvrir ]a,b[ par des ouverts mais il existe des recouvrements de ]a,b[ par des ouverts dont on ne peut pas extraire de recouvrement fini.

Justement c'est ce dernier point que je ne saisis pas. Tu saurais me faire un exemple si tu as le temps? Merci beaucoup en tout cas.

Tu prends U_n = ]a + 1/n , b - 1/n[, avec n >= n0, n0 étant choisi assez grand pour que l'intervalle U_n ait un sens. La réunion des U_n pour n >= 0 est ]a,b[ (en rajoutant éventuellement un ouvert au milieu pour que ça recouvre bien tout, mais un ouvert strictement inclus dans ]a,b[). On a donc un recouvrement de ]a,b[ par des ouverts. Mais on ne peut pas en extraire de sous-recouvrement fini. En effet si J est une sous-partie finie de {n >= n0}, et si on appelle N son plus grand indice (qui existe bien, une sous-partie finie de N possède toujours un plus grand élément), alors la réunion pour n appartenant à J des U_n est égale à ]a+1/N, b-1/N[, qui ne contient pas ]a,b[. Ainsi quelle que soit la sous-famille finie de ton recouvrement, elle ne sera jamais elle-même un recouvrement.

Mais bon là le plus simple c'est de constater que ]a,b[ n'est pas un fermé, et que tout compact est fermé (ça il faut encore le montrer).

"La réunion des U_n pour n >= 0 est ]a,b[ "

Bien sûr je voulais dire n >= n0.

Désolé je vois toujours pas trop l'histoire des sous-recouvrements, c'est vraiment là que ça coince ^^'

'fin merci de m'avoir répondu. S'il n'y a pas une autre façon pour m'éclairer, je vais me contenter de ça et juste retenir que compact c'est fermé et borné en dimension finie et que dans un ouvert on ne peut pas trouver de sous-recouvrements.

Merci en tout cas!

"et que dans un ouvert on ne peut pas trouver de sous-recouvrements. "

Non non c'est pas qu'on peut pas trouver de sous-recouvrement. C'est "il existe des recouvrements par des ouverts tels qu'on ne peut pas en extraire de recouvrement fini". Et j'ai justement donné un exemple d'un tel recouvrement.
Mais pour un ouvert tu peux toujours lui trouver un recouvrement fini : lui -même.

Un autre exemple peut-être plus clair. Tu prends N en tant que sous-partie de R, et les ouverts U_n = ]n - 1/2 , n + 1/2[. Il est clair que la réunion des U_n contient N. Donc on a un sous-recouvrement. Mais si tu choisis n'importe quel sous-famille finie de ces U_n, ça ne formera plus un recouvrement. Donc on ne peut extraire aucun recouvrement fini du recouvrement (U_n). Cela prouve que N n'est pas une partie compacte de R.

Sinon tu peux prendre une autre définition : une partie K est compacte si et seulement si tout suite d'éléments de K possède une sous-suite qui converge dans K. On peut montrer que c'est équivalent à la définition par les recouvrements d'ouverts, mais c'est souvent plus facile d'utiliser les suites.

Ok avec les suites ça va beaucoup mieux ^^

Mais l'exemple de N dans R est pas mal; je le retiens.

Merci énormément

Ca y est, j'ai pigé !!!! C'est l'illumination, ENFIN!

Merci beaucoup, j'ai pigé maintenant

De rien, et tant mieux si tu as compris.