Je vous présente une petite conjecture que j'ai faite, mais que je ne sait pas démontrer.

Soit une fonction f(x) polynôme de degrés 3 : ax^3 + bx^2 + cx + d avec d=0 tel que :
b > sqrt(3ac) et ayant la courbe C comme représentation graphique et f'(x) la dérivé de f.

Soit A (Xa ; f(Xa)) un point tel que la valeur absolue de f'(Xa) soit la plus grande valeur entre les extremums de la fonction f. ( ce qui correspond a l'extremum de f' entre les racines )

Soit la droite D qui passe par les deux extremums de C, et la droite E tangente a C au point A.

Je peux adire que les deux droites D et E se couperont au point A, mais comment le démontrer ?

personne pour me repondre ?

tu veux pas plutôt dire b > sqrt(4ac) car dans le cas contraire tu ne peux avoir que des racines complexes ou nulles il me semble?

non j'ai rien dit c'est moi qui débloque

Je te propose ceci:

-tu détermine les racines X1 et X2 de f'; en ces valeurs la fonction f admet des extremums locaux.
-tu détermine l'équation de la droite D passant (tu sais que cette droite passe par les points (X1,f(X1)) et (X2,f(X2))).
-Tu détermine la racine de f'' pour repérer l'extremum local de f' entre les racines de f': cette racine est Xa.
-E est tangente à C au point A donc E passe par A(Xa,f(Xa)).

Il reste donc à montrer que la droite D passe par A aussi.

-On pose g(x)= sx+t l'équation de la droite D.
-On doit donc montrer que g(Xa)=f(Xa)
-On sait que f'(x)=3ax²+2bx+c donc la somme de ses racines vaut X1+X2=-2b/(3a), or -b/(3a)=Xa donc Xa=(X1+X2)/2.
-D'après les calculs précédents:

g(x)=((f(X1)-f(X2))/(X1-X2))*(x-X1)+f(X1)

donc g(Xa)=((f(X1)-f(X2))/(X1-X2))*((X2-X1)/2)+f(X1)
donc ((f(X2)-f(X1))/2)+f(X1)
donc (f(X2)+f(X1))/2

-En faisant un dessin on voit facilement que (f(X2)+f(X1))/2=f((X1+X2)/2)
-Or f((X1+X2)/2)=f(Xa)
-Au final, g(x)=f(Xa)
-Donc la droite D passe par A.

Il y a peut-être d'autres méthodes plus simples et plus rapides.

je viens juste de voir ta réponse, pas le temps de l'étudier tout de suite, mais elle ma l'air convenable, merci, a plus

Ok n'hésite pas à me dire si i y a quelque chose de pas clair ou même une erreur que j'aurais fais.