Soit Un une suite convergente.
Démontrez que cela équivaut à ce que la série (Un+1-Un) soit convergente.

Des idées? Je sèche perso.

Somme téléscopique...

Si tu prends la suite Sn des sommes partielles pour la série de terme général u(n+1)-u(n) tu obtiens :

Sn = somme de k=0 à n des u(k+1)-u(k)
= u1 - u0 + u2 - u1 + u3 - u2 + ... + u(n+1) - un
= -u0 + u1 - u1 + u2 - u2 + ... + un - un + u(n+1)
= u(n+1) - u0

(Sn) converge donc si et seulement si (un) converge

D'où la convergence de la série de terme général un+1 - un équivaut à la converge de la suite un.

Une somme qui a des termes qui s'annulent comme ici en cascade s'appelle une somme télescopique.
La série s'appelle dans ce cas la série télescopique tant qu'à faire.