Bien le bonjour,

L'autre jour je me faisais la réflexion improbable d'avoir une application en physique des nombres complexes. Je sais qu'ils sont utilisés en électrique, mais je voulais trouver une autre application.

Tout d'abord, mathématiquement on est d'accord que x^2 + x + 1 = 0 n'a pas de solution dans les nombres réels. Par contre avec les nombres complexes toute équation admet autant de solution que son degré.

Ici nous avons un delta négatif valant : -3
Il y a deux solutions complexes : (-1 + i*3^1/2)/2 et (-1 - i*3^1/2)/2

Alors, si l'on prend une équation du deuxième degré en physique qu'arrive-t-il si son delta est négatif ? il n'y a pas de solution. Quel genre de problème de physique amène à résoudre une équation du deuxième degré ? Une équation horaire en MRUA par exemple. (Cinématique).

La position d'un mobile en fonction du temps est :
x(t) = 1/2 at^2 + Vot + Xo.

x(t)= la distance, t le temps, a l'accélération, Vo la vitesse initiale et Xo la position initiale.

Si on pose que cette équation = 0 On peut la résoudre seulement, si l'accélération est négative, parfois si la vitesse est négative, si Xo est négatif ou encore si le temps est négatif. On exclut la possibilité que t = 0 car, à ce moment là le mobile ne bouge pas et c'est peu intéressant. (De plus, dans ce cas, si Xo ne vaut pas 0, alors l'équation n'a pas de solution).

Si on définit maintenant que l'accélération est positive, la vitesse aussi et que Xo ne vaut pas nécessairement 0 mais pourrait le valoir, et que le temps est positif, et que cette équation vaut 0, on ne peut pas la résoudre dans R.

En effet, un mobile partant d'un point X allant dans une direction, ne pourra jamais retourner à son point de départ dans le futur. (C'est un mouvement rectiligne).

Et pourtant... Si on résout avec les nombres complexes dans C c'est possible. Cela implique que la solution est un temps complexe. Le mobile se retrouvera à son point de départ à partir d'un temps t complexe.

Comment interpréter cela ? Bien entendu on touche plus à la philosophie qu'à la physique, même si les deux comme on le voit ici peuvent se rejoindre... Est-ce que c'est possible ? Ou est-ce juste un paradoxe mathématique - physique qui montre que les mathématiques n'ont pas toujours de significations en physique ?

Salut l'ami.

Première réaction : Oula :| !

Je vais essayer de reprendre ton raisonnement point par point.

"La position d'un mobile en fonction du temps est :
x(t) = 1/2 at^2 + Vot + Xo."
Faux. Ca serait tellement beau tiens. Et que fais tu de toutes les conditions initiales là-dedans ? Cette solution fonctionne par exemple pour exprimer l'abscisse en fonction du temps d'un solide propulsé d'un point Xo à une vitesse Vo(x) = Vo et soumis à une accélération constante (généralement dans ce cas: la gravité). La précision mérite le détour quand même.

"Si on pose que cette équation = 0 On peut la résoudre seulement, si l'accélération est négative"
Et le discriminant en première il est oublié ?
Une équation du second degré n'admet de solution(s) dans R si et seulement si son discriminant est positif ou nul.
Dans ce cas-là seulement si Vo² - a*Xo/2 >= 0. Et tu ne peux rien dire d'autre.

"On exclut la possibilité que t = 0 car, à ce moment là le mobile ne bouge pas et c'est peu intéressant. (De plus, dans ce cas, si Xo ne vaut pas 0, alors l'équation n'a pas de solution). "
Pardon ? à t = 0 le mobile ne bouge pas ? Qu'est-ce que tu entends par là ? La mobile bouge si tu dérives x(t) ça te donne x'(t) = at + Vo et à preuve du contraire x'(0) = Vo... C'est pas très nul tout ça (sauf si Vo est nul dans les conditions bien sûr).

"Si on définit maintenant que l'accélération est positive, la vitesse aussi et que Xo ne vaut pas nécessairement 0 mais pourrait le valoir, et que le temps est positif, et que cette équation vaut 0, on ne peut pas la résoudre dans R. "
Discriminant aucun rapport.

Je te propose de reprendre ton raisonement là où les mathématiques t'ont laissé et revoir si tout cela tient un peu plus la route ?

Vo² - 2*a*Xo >= 0

Avril: Ça peut au contraire être une excellente idée d'utiliser les complexes. Typiqement, en électronique, on fait souvent des calculs en passant par les complexes parce que c'est plus simple (oui, les complexes portent mal leur nom ), et ça n'empêche pas d'aboutir à un résultat réel à la toute fin des calculs.

jo-7 :

« x(t) = 1/2.a.t^2 + Vo.t + Xo. » oui, c'est l'équation d'une belle parabole.

Ton erreur réside essentiellement dans le fait que tu confonds la droite d'équation x(t) = 1/2.a.t^2 + Vo.t + Xo qui est l'ensemble des points (t, x(t)) dans un repère à 2 dimensions avec l'équation du second degré 0 = 1/2.a.t^2 + Vo.t + Xo qui représente la condition pour laquelle on aura x(t) = 0, ce qu'on peut interpréter par le fait que ta courbe (t,x(t)) va couper l'axe des abscisses.

Comme tu l'as souligné, on peut effectivement trouver des valeurs pour a, Vo et Xo pour lesquelles ta courbe ne coupera jamais l'axe des abscisses, mais ça c'est très moral. Typiquement, si je jète un stylo devant moi, il n'a aucun chance de passer derrière mon dos.

Est-ce qu'on peut dire que notre univers n'est pas explicable uniquement mathématiquement et qu'une appréciation morale est nécessaire ?

C'est un peu de la philosophie, je trouve, mais le sujet me parait bien s'y prêter.

"Comme tu l'as souligné, on peut effectivement trouver des valeurs pour a, Vo et Xo pour lesquelles ta courbe ne coupera jamais l'axe des abscisses, mais ça c'est très moral. Typiquement, si je jète un stylo devant moi, il n'a aucun chance de passer derrière mon dos."

Je ne comprends le rapport avec le fait que la courbe touche l'axe des abscisse et le fait de prendre en compte le temps négatif. Ou alors ta première phrase n'avait peut-être tout simplement pas de rapport avec la deuxième

Tbop2 :
Je faisais référence à cette partie du message :
« Si on pose que cette équation = 0 On peut la résoudre seulement, si l'accélération est négative, parfois si la vitesse est négative, si Xo est négatif ou encore si le temps est négatif. »
ce qui relu autrement donne : il y a des cas où ce n'est pas possible. Après, les histoires de temps négatifs je n'y ai pas prêté attention moi.

Bon tout d'abord merci de vos réponses !

"Faux. Ca serait tellement beau tiens. Et que fais tu de toutes les conditions initiales là-dedans ? Cette solution fonctionne par exemple pour exprimer l'abscisse en fonction du temps d'un solide propulsé d'un point Xo à une vitesse Vo(x) = Vo et soumis à une accélération constante (généralement dans ce cas: la gravité). La précision mérite le détour quand même."

Certes j'aurais du préciser que je parlais d'un modèle basique et non d'un modèle qui prend en compte la position de jupiter, le vent, le référentiel, la longueur d'onde de la lumière qui permet l'observation au moment de l'expérience et enfin la rotation de la terre.

Alors effectivement je ne suis pas un as en mathématique mais je maitrise la résolution d'une équation du deuxième degré. Mais évidemment avec mon accumulation incompréhensible qui voulait effectivement simplement dire, quand le delta est positif ou nul, c'était pas très clair. J'ai simplement voulu expliquer par un autre chemin vulgarisé ou mauvais la notion du delta négatif, chose que je n'aurais pas du faire, vu que vous faîtes des études surement supérieurs aux miennes.
le fait de dire "Dans ce cas-là seulement si Vo² - 2*a*Xo >= 0 " effectivement est la manière la plus simple de l'expliquer et j'aurais du le faire comme ça, ça m'aurait évité un pavé.

"[...]x'(0) = Vo... C'est pas très nul tout ça (sauf si Vo est nul dans les conditions bien sûr). "

Au temps pour moi, c'était effectivement une erreur. la vitesse ne vaut pas 0 au temps 0, mais en revanche je ne crois pas qu'il soit faux de dire que sa position n'a pas bougé au temps 0. x(t) vaut bien 0. au temps 0. (pour autant que Xo = 0.

""[...] on ne peut pas la résoudre dans R. "
Discriminant aucun rapport."

Mmh c'est pas faux de dire que le delta est négatif ? (Oui j'ai encore une fois voulu le dire d'une autre façon...)

@ Avril : Ou plutôt de savoir qu'est-ce que ça ferait d'utiliser les complexes ?

@Chris : Mmh ben je prends l'équation de la parabole x(t) = 1/2.a.t^2 + Vo.t + Xo et je pose que x(t) = 0 où est le problème ? En partant du principe que cette équation est utilisée "pour exprimer l'abscisse en fonction du temps d'un solide propulsé d'un point Xo à une vitesse Vo(x) = Vo et soumis à une accélération constante (généralement dans ce cas: la gravité)."

"Typiquement, si je jète un stylo devant moi, il n'a aucun chance de passer derrière mon dos."
Exactement c'est une très bonne image de ce que je voulais dire. Sauf que apparemment avec les nombres complexes c'est possible. t>0 ou disons simplement qu'à partir d'un certain temps (complexe à mon avis) ton stylo se retrouvera exactement où tu l'as lancé.

@Zeus : Bah oui c'est philosophique, mais je dirais qu'à partir d'un certain point philosophie et physique se rejoignent. Cela en particulier parce que les mathématiques n'ont pas toujours à priori une représentation physique. Après tout les nombres complexes sont des nombres imaginaires. Et ici imaginer qu'un stylo qu'on a lancé devant soit revienne à son point de départ tout seul, c'est de l'imagination. Comme c'est de l'imagination d'imaginer qu'un nombre au carré puisse être négatif.

Cela dit, ce que je dis là n'est qu'un questionnement philosophique, même si j'ai pas mis de point d'interrogation à la fin de mes affirmations.

Enfin bon. Si je comprends bien un temps complexe ça ne veut rien dire ?

On a pour l'instant trouvé aucune expérience physique permettant d'en trouver un sens donc non ça ne veut pas dire grand chose... et a fortiori j'émets l'hypothèse que ça n'aura peut-être jamais aucun sens mais là je m'avance.

Je vois. En tout c'est intéressant de voir ce qu'implique les mathématiques si on les applique dans leur totalité à la physique.

C'est exact, plus on avance en physique plus on prédit des résultats "impromptus" avant même de savoir qu'ils pouvaient véritablement exister.

"Je sais qu'ils sont utilisés en électrique, mais je voulais trouver une autre application. "

Il ne faut pas oublier que lorsqu'on utilise les complexes ça n'est que pour entrainer une simplification des calculs, par exemple dans la résolutions d'une équation différentielle. On revient toujours à des valeurs réelles au bout d'un moment On pourrait s'en passer, ça serait juste beaucoup plus compliqué.
Ici tu n'essayes pas d'en faire le même usage.

Oui c'est sûr. Mais c'est plus intéressant d'avoir des nombres complexes dans les résultats que comme de "simples" outils de résolution ou de calcul