Salut, j'ai une question :

Quelle est la différence entre un ensemble fermé et un ensemble borné ?

Merci !

Un ensemble borné, c'est, dans un espace métrique (i.e. un espace où la notion de distance à un sens), un ensemble tel que pour un point P donné de l'espace, il existe une distance d, telle que tout les points de l'ensemble sont à une distance de P inférieur à d.

Un ensemble fermé, ça n'a rien à voir. La fermeture est un concept qui ne dépend que des "bords" de l'ensemble et s'applique dans un espace topologique pas forcément métrique. Un ensemble fermé est un ensemble dont le complémentaire (tout sauf cet ensemble) est ouvert (désolé, c'est la définition). Ce qui ne veux pas dire que le contraire de fermé c'est ouvert (le contraire de fermé, c'est non fermé).

En prime, je te donne la définition d'un ensemble ouvert (dans un espace métrique, parce que c'est plus simple) pour que ça soit complet : un ensemble ouvert c'est un ensemble tel que pour chaque point P de l'ensemble, il existe une distance d strictement positive, tel que tout les points de l'espace à une distance de P inférieur à d soient dans l'ensemble. En quelques sorte il n'y a pas de bord nette.

OK (c'est bien les définitions qu'on a vues en analyse ), mais alors pourquoi un ensemble compact doit-il être borné en plus d'être fermé ? (Comme tu l'as dit, le complémentaire de cet ensemble est déjà ouvert, et donc, par définition, il existe des points bornant l'ensemble fermé sans y être compris)
J'ai posé la question au prof, mais il a pas réussi à me donner une raison convaincante...

Un ensemble fermé n'est pas nécessairement borné : [0,+ infini[ est fermé dans R (car le complémentaire ]-infini,0[ est ouvert) mais non borné.