Si une une suite numérique a un point fixe "l" logiquement ca veut dire qu'elle est majorée par "l" non ?
Est ce qu'on peut trouver un point fixe pour toute les suites?

Une suite définie par récurrence et qui a un point fixe, a pour limite la valeur l en ce point fixe. Mais elle n'est pas majorée par l, si une valeur de la suite dépasse l avant que la suite n'atteigne son point fixe (ou alors elle est majorée par l à partir d'un rang à préciser).

On ne peut pas trouver un point fixe pour toutes les suites récurrentes, car toutes les suites récurrentes ne sont pas convergentes (Un+1 = 2*Un par exemple) et même des suites convergentes n'ont pas forcément de point fixe.

Un point fixe se manifestera par le fait que la suite devient constante à partir d'un certain rang.

Déjà un point fixe d'une suite ça veut rien dire, on parle de point fixe d'une fonction, qui est un b tel que f(b) = b.

Une suite de type Un+1= f(Un), si elle converge, elle converge OBLIGATOIREMENT vers un point fixe de f, et de plus, b ne majore pas forcément Un, qui peut faire ce qu'elle veut.

Si , si en cours on utilise bien l'expression point fixe d'une suite...
Mais si Un ( croissante) devient constante à partir de son point fixe l ca veut dire que Un ne prend pas de valeur supérieure à l Un majorée par l ?

C'est un abus de langage de parler de point fixe d'une suite.
Mais sinon dans ton cas (qui est assez particulier et à ne pas prendre pour un cas général), Un est majorée par l.

Non, si une suite à un "point fixe" elle n'est pas forcément du tout majorée (ou minorée) par cette valeur (c'est vrai seulement dans des cas particuliers, par exemple si la fonction sous-jacente est monotone et continue).

D'autre part, si elle converge, elle n'a pas forcément de point fixe et vice versa (mais dans ce deuxième sens, il faudrait définir plus proprement ce qu'on entend par point fixe d'une suite).

Si on appelle point fixe d'une suite définie par récurrence, une valeur v telle que si pour un n donnée un = v alors un+1=v aussi (et par récurrence, tout les un qui suivent), alors il peut exister une telle valeur, mais si la suite n'y passe pas elle ne sera pas stationnaire, et peut-être qu'elle e va pas converger vers cette valeur.

Si pour point fixe d'une suite on décide qu'il s'agit d'une valeur Un pour un n donné telle que tout les Un qui suivent ont la même valeur, alors là bien sûr, par définition, cette valeur est atteinte et est une limite de la suite, mais elle n'est pas pour autant un majorant ou un minorant.

Dans le cas particulier que tu évoque (j'ai lu un peu vite), alors oui, si une suite est croissante et stationnaire à partir d'un certain rang, alors elle est majorée par sa limite.

Et si par exemple on veut chercher un minorant ( ou un majorant ) à une suite on fait comment: dans mon cas il s'agit de la suite définie par récurrence avec U de 0 = 1 et Un+1= -1/3+Un , si mes calculs sont bon il me semble qu'elle est décroissante (et donc majorée par 1) et donc je dois trouver un minorant "m" pour appliquer le critère de convergence et dire que lim Un= m ;quand n tend vers + l'infini.

Merci pour vos réponses ; et merci d'avance pour ma précédente question.

Sauf que là ta suite ne converge pas...

On me demande de MONTRER que cette suite converge je pense donc qu'elle doit converger.

Attend c'est Un+1 = 1/3+UN ou Un+1 = 1/(3+UN) ?

avec les - qui manque

Même si tu trouve un minorant pour ta suite, ça ne veut pas dire qu'elle converge vers ce minorant. Il faut que cesoit le plus grand minorant possible pour que ton théorème soit vrai (montrer que m+e n'est pas un minorant si e>0, par exemple).

La suite que tu as écrit ne converge évidemment pas (Un = 1 - n / 3), sauf à considérer qu'elle "converge" vers moins l'infini (mais ça sale).

Nerro c'est Un+1= -1/(3+Un)

Et moins l'infini c'est tout le contraire d'une convergence lol ( ou + l'infini d'ailleur).

non, le contraire d'une convergence, c'est l'absence de convergence. Ensuite, il reste juste à déterminer si "converger" (i.e. tendre) vers plus ou moins l'infini c'est réellement converger, ou si tu ne sais pas suffisamment ce que veut dire le mot "infini" pour accepter ça.

Mais une suite qui ne converge pas est une suite qui n'a pas de limite, par exemple : U0 = 1; Un+1 = 1 - Un; Elle ne converge pas mais elle ne s'approche pas du tout de plus ou moins l'infini (et elle pourrait le faire sans pour autant converger).

Ok, avec Un+1= -1/(3+Un) ca converge. Sauf que la suite n'est pas décoissante ^^

La suite est majoré par 1, minoré par -1/4 et converge vers 0, mais je me souvient plus comment démonter tout ca...

Mais pourquoi elle est pas décroissante Tu trouve Un+1-Un>0 ?Hum en même temps je l'ai pas fait lol ...

Ah effectivement elle n'est pas décroissante puisque U1<U2<U3 ect... Mais alors c'est seulement à partir de n=1 qu'elle est croissante puisque U0=1 et U1<1