Peut-on démontrer qu´il n´existe pas de relation d´ordre sur C qui soit totale et compatible avec les opérations + et x ?

très probablement, mais je ne sais pas comment.

Par contre j´offre un mars au premier qui m´exhibe une relation d´ordre sur les fonctions continu de R dans R qui soit compatible avec l´addition sur cet espace de fonction et avec le produit externe par les réels.
J´aurais pu mettre ça sur le topic du tbop, mais tant pis.

dnob700 > Fallait demander a Will Hunting hier soir a la télé (tres bon film).

Bon, je n´apporterai pas la solution, mais un oeil informatique sur la relation d´ordre pour des "points"
(finalement, un nombre complexe a+ib, ça peut etre vu comme un point sur un plan, point de coordonnée (a,b) )

En info graphique, on manipule souvent des points (x,y) ou (x,y,z), et parfois il peut y avoir besoin d´établir une relation d´ordre (pour les stocker en tant que clé dans des set ou des map par exemple).
En info, on ne se casse pas la tete, pour 2 points P1 et P2 a comparer, on prend P1.x et P2.x -> si l´un est plus grand que l´autre, alors on sit que le point en question est plus grand que l´autre. S´ils sont égaux, alors on regarde pour y, et s´ils sont encore égaux, pour z.
On peut également tester cela a une tolérance pres : si abs(P1.x-P2.x) < EPS alors on considere que les coordonnées sont égales (donc on passe au test sur y) )

Voila, c´était juste a titre informatif. mais je ne suis pas sur que soit compatible avec + et x comme tu demandais...

+1 Fvirtman

En réflechissant un peu j´ai fini par trouver

Soit >= une relation d´ordre totale sur C et compatible avec + et x. On suppose deux cas :
i >= 0 donc i x i >= 0 x i donc -1 >= 0 ce qui est absurde.
0 >= i donc i x i >= 0 x i (j´inverse l´inégalité car je multiplie par un nombre inférieur à 0) donc -1 >= 0 ce qui est absurde. On ne peut donc pas comparer 0 et i donc la relation n´est pas totale donc il ne peut pas exister une relation d´ordre à la fois totale et compatible avec les opérations + et x.

Pour dnob700, je me disais que peut-être on pouvait dire que f >=g si 1/(b-a)x(INTEGRALE entre A et B) f(x).dx >= 1/(b-a)x(INTEGRALE entre A et B) g(x).dx
Enfin faudrait vérifier parce qu´à vue d´oeil l´antisymétrie n´a pas l´air d´être vérifiée.

Aldebaran : je ne suis pas sûr que ta démonstration suffise. Il faudrait montrer que -1 >= 0 entraîne un problème (en vérifiant l´incompatibilité avec l´addition).

Par contre, ton ordre sur les fonction, il n´est clairement pas antisymétrique, et de toute manière a et b ne sont pas définit (ici, je considérais des fonctions sur R tout entier).

"démontrer qu´il n´existe pas de relation d´ordre sur C qui soit totale et compatible avec les opérations + et x ?"

Que cela veut-il dire?

Ho alors? vous me snober? J´aimerai comprendre là..

Bah sur l´ensemble des réels, il y a une relation d´ordre, on peut dire que a est supérieur ou égal à b. Une relation d´ordre est définit selon des critères précis :
- Réflexivité : x >= x
- Antisymétrie : x >= y et y >= x équivaut à x = y
- Transitivité : x >= y et y >= z équivaut à x >= z
Une relation d´ordre est totale si on peut comparer tout les éléments d´un ensemble, et elle est compatible avec les opérations + et x si x >= y implique que x + z >= y + z et x * z >= y * z.

Ce que je cherche à démontrer c´est que sur l´ensemble des complexes, il n´y a aucune relation d´ordre qui réunisse tout ces critères.

PS : Je crois en fait, qu´il n´existe pas de relation d´ordre sur l´ensemble des fonctions de R dans R, si c´est le cas, ça pourrait être intéressant de le démontrer

"Je crois en fait, qu´il n´existe pas de relation d´ordre sur l´ensemble des fonctions de R dans R"

absolument, mais moi j´ai imposé qu´elles soient continues.

Ah ça y est je crois que j´ai trouvé pour l´ordre sur l´ensemble des fonctions de R dans R !
La relation d´ordre est : pour tout x appartenant à R, f >= g si f(x) >= g(x)
Je ne sais pas si c´était volontairement ou pas, mais tu n´a pas précisé que l´ordre devait être total

ok, bon et une relation d´ordre total maintenant (et compatible avec +)

Moi j´en ai une : f PlusBelleOuAussiBelleQue g.
Y´a bien reflectivité, Antisymetrie, et transitivité.

Sinon je voit pas du tout mais on a evoqué tout ces truc là pour l´instant.

La norme infinie non ?

C´est quoi ça ?

ben une norme est une relation d´équivalence. Mais tu en tire une relation qui n´est pas du tout antisymétrique si tu compare les normes.

Le point important est qu´on ne le définit que sur des fonctions continue, tout ce qui fonctionne sur toutes les fonctions ne peut pas être solution de mon problème. Mais en y pensant, je crois que ça demande des détails de maths de deuxième année, je ne suis pas sûr.

bon, je vais considérer que vous voulez la réponse.

On sait que les rationnels sont denses dans l´ensemble des réel (ça c´est du programme de 1ère année je pense) et qu´ils sont dénombrable. On peut donc avoir une suite u qui prenne successivement la valeur de tout les rationnels lorsque sont paramètre entier va de 0 à l´infini.

D´autre part, on sait que deux fonctions continue de R dans R qui coïncide sur un ensemble dense dans R, sont égale.

Pour comparer f et g on on prend ce nombre :
a = Min({n | f(u(n))<>g(u(n)), n entier}

Si a égale l´infini (i.e. il n´y a pas de n tel que f(u(n))<>g(u(n)) ) alors f=g, sinon, f<g <=> f(u(a))<g(u(a))

Et on a bien défini un ordre totale sur les fonctions continues de R dans R.

"D´autre part, on sait que deux fonctions continue de R dans R qui coïncide sur un ensemble dense dans R, sont égale. "
"On sait que les rationnels sont denses dans l´ensemble des réel "
Je sais pas ce que c´est tout ça.
Mais merci quand même

dire que les rationnels sont dense dans l´ensemble des réels, ça veut dire que si tu prend deux réels a et b tels que a<b, alors, aussi proche que soit a et b, il existe c qui est un rationnel et tel que a<c<b.

Ouch, j´aurais jamais pu sortir une relation pareille...