Voilà, qu´en pensez-vous ? Je le réécris selon des schémas que j´ai vus...

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Imaginons un demi-cercle, de rayon AO et de diamètre AB.
AO = 1.

La longueur de ce demi-cercle est donc égale à Pi...

Maintenant coupons ce demi cercle en deux, cad nous obtenons deux demi cercles de rayon 1/2 chacun. Ainsi, leur longueur sera chacune de 1/2Pi, et si on les additionne on obtiendra Pi.

Schéma
http://img154.imageshack.us/img154/7282/schemapi2tr7.png

Ainsi, plus l´on divise, plus la longueur cumulée des cercles tend vers le diamètre... Or, la somme de la longueur des cercles est censée être Pi, mais si l´on divise de plus en plus, elle sera de 2 (diamètre)

C´est faux, la longueur cumulée ne tend pas vers le diametre, puisque c´est toujours une somme de demi cercles, cela ne tend pas vers une droite, jamais.
Cela vaudra toujours Pi, car tu compenses la reduction du demi perimetre en multipliant le nombre de demi cercles.Si tu divises en n demi cercles ca te fera n x Pi/n = Pi quelque soit n.

En effet, ça ne tendra jamais vers une droite.
Meme si à l´oeil tu en auras l´impression.

"En effet, ça ne tendra jamais vers une droite. "

selon quelle définition de "tendre" ? parce que si on regarde la distance maximum entre les demi cercles et la droite, elle tend bien vers zéro, même l´aire entre les deux courbes tend vers zéro.

En terme mathématique s´il s´agissait de fonctions, la suite des fonctions dont les graphes sont les demis cercles tends bien vers la fonctions dont le graphe est le segment, et ce non seulement simplement, mais même uniformément.

seulement, ça n´implique rien sur les intégrales curvilignes qu´on considère ici (la longueur des courbes). Mais je pense qu´on a le droit de dire que les demis-cercles tendent vers le segment.

Une version plus simple est un escalier reliant deux coins opposés d´un carré de côté 4. Au départ on prend deux bords du carré pour une longueur de 2, puis on prend des marches plus petites, etc. Le tout tend vers la diagonal de longueur racine de deux, mais a toujours une longueur de 2. C´est le même problème mais un tout petit peu plus simple je trouve (on n´a plus les cercles, pi, etc. qui traîne).