Salut les matheux

"Il y a autant de nombres pairs que d´entiers"

Cela me laisse perplexe, quel est votre avis dessus ?

Etant donné qu´il y a une infinité de nombres pairs... on ne peut pas néanmoins doubler cet infini pour retrouver les entiers puisqu´on ne peut pas appliquer ce calcul à l´infini (je pense) non ?

Ah ah, fais gaffe, le travail sur l´infini a fait perdre la raison à un grand matheux, dont j´ai bouffé le nom.

Ca me fascine cet infini

je pense pas que quelqu´un ne puisse pas ressentir une quelconque facination pour cet infini !
le truc, c´est que vu qu´il y a un nombre pair tous les deux nombres, il y a forcement plus d´entiers que de pairs.
on peut aussi voir la chose comme ça :
soit:
Z l´ensemble des entiers
P l´ensemble des nombres pairs
I l´ensemble des nombres impairs
on a Z = P+I , P+I étant forcement supérieur à P.
on pourrait en conclure qu´il y a plus de pairs que d´entiers, mais avec l´infini comme valeur, rien n´est moins sur !

Il y a aussi plus de naturels que de fractions, ce qui est assez surprenant.

tu voulais pas plutot dire plus de fractions que de naturels

aussi , un autre truc qu´on peut prendre : on défini un intervalle ayant le même nombre de pairs que d´impairs, et on compare le nombre de pairs et celui d´entiers.

Euh chacal l´ensemble naturel est un sous ensemble des rationnels...
Tu crois pas que tu confonds au faite que le rapport des rationnels sur les irrationnels tend vers 0 ?

Quant à la notion de dénombrement avec l´infini, je sais pas si c´est très légal... je sais pas on défini le cardinal d´un ensemble par un entier naturel, ors +-infini n´est pas un réel....

Et pourtant :
http://fr.wikipedia.org/wwiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

Moi j´ai vu le cardinal ce n´est pas le même chose en faites, même si mon chapitre était intitulé dénombrement je viens de comprendre que le cardinal n´était que le cas où l´ensemble est fini.

DonBarzini : quand tu as des ensemble infini (les entier, les entiers pairs, les rationnel, etc.), on dit qu´ils ont la même taille, si il y a une bijection entre ces deux ensemble (appelons les A et B).

C´est à dire une fonction qui a chaque élément de A associe un élément de B, de telle sorte que tout les élément de B soit l´image par la fonction d´un élément de A exactement.

Ca se comprend bien pour des ensemble fini, ou tu a le même nombre d´élément dans chaque ensemble, si tu peut associer chaque élément de l´un à un élément de l´autre. Et on étend juste ce principe à des ensembles infini.

par exemple si tu prend la fonction f:
f(n)=2*n tu va associer à chaque entier un entier pair,et ce de manière unique. C´est une bijection entre les entier et les entier pair, il y en a donc autant.
Et il y a d´ailleurs autant de rationnelle que d´entier de la même façons (mais il n´y a pas de bijection aussi triviale entre ces deux ensembles).

• _viper_ profil

* Posté le 26 novembre 2006 à 22:21:30 avertir modérateur

on a Z = P+I , P+I étant forcement supérieur à P.
on pourrait en conclure qu´il y a plus de pairs que d´entiers, mais avec l´infini comme valeur, rien n´est moins sur !

Je ne comprend pas trés bien, plus de pairs que d´entiers voudrai dire P>Z ?

non, en effet, j´ai inversé, c´est plus d´entier que de pairs.

_viper_ Posté le 26 novembre 2006 à 23:39:08 tu voulais pas plutot dire plus de fractions que de naturels

aussi , un autre truc qu´on peut prendre : on défini un intervalle ayant le même nombre de pairs que d´impairs, et on compare le nombre de pairs et celui d´entiers.

On dit que Q est dénombrable, ce qui signifie qu´il y a bijection entre N et Q.

Or, dans cette bijection, on associe des naturels differents a toutes ces fractions redondantes que sont 1/1, 2/2, 3/3, 4/4 qui font 1..., 2/4, 4/8, etc... qui font 1/2.
Bref il y a surjection de N dans Q, ce qui intuitivement correspond à l´idée qu´il y a plus de naturels que de fractions.

faut que je revois un peu tout ça, mais logiquement, il y a plus de fractions que d´entiers.
regarde, on prend l´intervalle [1;2] : 2 entiers et une infinité de fractions (1/2 ; 1/3 ; 1/4 ...)

le_chacal : il existe des surjection non bijective des naturels sur les rationnel (ce que tu nous écrit).

Mais ce qui définit le fait que N et Q ont la "même taille", c´est qu´il existe _aussi_ des bijection entre ces deux ensembles.

Regardes, tout le monde est d´accord pour dire qu´il y a autant de naturel pairs que d´impairs.

Et pourtant on peut les associer comme ça :
0->1
2->1
4->3
6->3
8->5
...

bon, on peut se dire qu´il y a donc plus de pair que d´impair car je vais recouvrir plusieurs fois tout les impair avec les pairs.

Mais ce qui est important, c´est qu´il existe une telle surjection dans les deux sens (tu puisse recouvrir les éléments de A avec ceux de B, et ceux de B avec ceux de A).

Mais ne t´inquiète, pas, ce dont tu parle n´est pas une bujection entre N et Q (justement parce qu´on passe plusieurs fois sur certains rationnel). Mais il existe des bijection entre N et Q (et qui ne passe donc qu´une fois sur chaque élément de Q).

"Il y a autant de nombres pairs que d´entiers"

Oui c´est vrai. Tout comme y´a autant de naturels que de relatifs.

Oh lui il veut me faire faire des math sur mon teps libre! il est !

euh, tu crois que ce qu´on poste ici, c´est pas sur notre temps libre ? :questiob:
Malcolm le truc, c´est qu´on pourrait dire q´il y en a autant et à la fois, il y en a plus

en fait, quand on parle d´ensemble infini, la notion de ´autant´ n´a plus la meme signification.
Et la seule définition propre que l´on ait est l´existence d´une bijection d´un ensemble vers l´autre.

Mais je suis d´accord que compte tenu que N est inclut dans Z, il n´est pas intuitif de dire qu´ils sont de meme taille.

ça dépend, si N est inclut dans Z mais que tous les nombres appartenant à Z appartiennent aussi à N, là, on pourra dire qu´ils sont de même taille. c´est pas valable pour N et Z, mais ça peut l´etre pour d´autres ensembles. là, vu que tous les nombres appartenant à Z n´appartiennent pas à N, et que N est inclut dans Z, on peut penser que N est plus petit que Z, mais quand l´infini s´en mêle...