Bonjour,

Récemment je me suis mis à étudier la relativité avec un livre que j'ai emprunté à la BU de ma fac. Le domaine est très intéressant mais certaines choses m'intriguent, enfin me semblent relever du tour de magie, en particulier l'intervalle entre deux évènements (je le note avec un d comme une différentielle mais bon ça pourrait être un delta) :
ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz².
Bon déjà, dans la littérature y a plusieurs conventions sur le (pseudo ? puisque <x|x> < 0 est possible) produit scalaire de Minkowski, y en a qui font :
ds² = dx² + dy² + dz² - (cdt)² (donc on écrit la "métrique" n_µv avec des 0 ailleurs que sur la diagonale et des signes aux bons endroits pour génraliser l'intervalle en ds² = n_µv*dx^µ*dx^v)

Comment (historiquement) c'est venu de se dire qu'au lieu de prendre un produit scalaire comme si on était dans R⁴ on allait le poser avec la forme du dessus?
Comment justement on peut écrire le produit scalaire avec deux conventions différentes et obtenir la même invariance ?
Est-ce qu'il y a une justification physique pour choisir l'intervalle de manière à ce que soit invariant ?
Et justement, et ce que je raisonne à l'envers et qu'on a compris que l'intervalle défini de cette manière était invariant puis ensuite on a construit l'espace de Minkowski sur ça ?

Voilà, j'espère que c'est pas trop confus.

Déjà, le choix de la convention ne pose pas de problème.

"Comment justement on peut écrire le produit scalaire avec deux conventions différentes et obtenir la même invariance ?"

Quand on parle d'invariance, c'est sous changement de référentiel. Si tu regardes le système d'un autre point de vue et que tu fais les mesures d'un évènement sur x,y,z,t, tu verras que l'intervalle ds^2 ne change pas. Et ce peu importe de la convention que tu choisis pour la métrique (on s'en fiche du signe en fait).

Ca se vérifie en disant que les transformations de Lorentz sont des matrices qui préservent la métrique de Minkowski (dans R^3 par exemple, on a l'équivalent des matrices de rotation qui préservent la métrique qui n'est que l'identité). Avec quelques manipulations on s'aperçoit que le produit scalaire de deux quadrivecteurs est invariant sous TL.

Enfin bref ce qui est intéressant est de savoir d'où vient ce truc. A mon avis, l'origine vient des premiers travaux sur la relativité restreinte par Lorentz, qui ont mené aux transformations de Lorentz sur les coordonnées d'espace-temps. http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformations_de_Lorentz

Et vu la forme qu'elles avaient, en l'écrivant sous forme matricielle, ça laissait déjà présager que le temps et l'espace pouvaient être réunis dans un quadrivecteur, qui est un vecteur d'un espace à 4 dimensions, mais pas euclidien. A mon avis c'est ça qui a poussé Minkowsi a formaliser un peu tout ça mathématiquement

Oui justement j'ai vu comment montrer l'invariance sous les transformations de Lorentz, donc vraiment l'espace de Minkowski a été construit de cette manière là spécifiquement dans le but d'avoir cette invariance physique..

Euh pas forcément, en fait grâce aux transformations de Lorentz, on s'en rendus compte que sous TL le temps et l'espace se mélangeaient. Si certaines quantités se mélangent ensembles, ça veut dire qu'elles appartiennent à une certaine représentation d'un groupe.

Je ne sais pas si tu as déjà fait de la théorie des groupes

Par exemple, on appelle un vecteur de R^3 "vecteur" parce qu'il se transforme sous rotation dans R^3.

En relativité restreinte c'est un peu pareil sauf qu'on a remarqué que sous transformation de Lorentz, on avait un objet à 4 dimensions qui se transformait. Sauf que ça n'a pas l'air d'être un espace euclidien. C'est certainement pourquoi Minkowski a formalisé un peu tout cela.

En gros une transformation de Lorentz c'est une espèce de rotation dans l'espace de Minkowski, au même titre que les rotations le sont pour R^3.

Pour finir sur le formalisme, les transformations de Lorentz forment un groupe et agissent sur des quadrivecteurs. La définition du groupe de Lorentz, ce sont les matrices qui préservent la métrique de Minkowski, qui elle-même permet de définir une norme sur cet espace. Du coup automatiquement le produit scalaire dans cet espace sera invariant sous TL. C'est de là que vient cet invariant relativiste.

J'espère que c'est plus ou moins clair

Mais oui, du coup en rapport avec ma dernière phrase, le formalisme fait explicitement apparaître l'invariant relativiste

Ok ça me parait un peu plus clair déjà, l'espace de Minkowski est bien plus subtile que R⁴ avec le produit scalaire usuel

En fait en revenant un peu à la physique ça va un peu mieux, le produit scalaire et la métrique de Minkowski, c'est construit pour avoir des invariants pour différents observateurs avec les transformations de Lorentz.

Sinon qu'est-ce qu'une représentation de groupe (ici en termes de quadrivecteurs et de TL)

En fait c'est pas tant compliqué que ça, il faut juste comprendre qu'on travaille sur un espace différent et que la norme d'un quadrivecteur n'est plus définie positive, et n'est plus invariante sous rotation dans R^3, mais sous transformation de Lorentz.

Euh c'est pas très important dans ce cas là

A la sauce physicienne, en gros le groupe est défini d'une certaine manière, et parfois on peut remplir cette définition de plusieurs manières. On obtient plusieurs ensemble de matrices qui satisfont bien les conditions du groupe. Ces ensembles forment des représentations du groupe, et quand on dit qu'un objet se transforme sous une représentation du groupe, on sous-entend quelle représentation du groupe va s'appliquer sur l'objet

Mais t'as pas besoin de savoir ça, à la limite quand tu seras en master

Mais du coup la théorie des groupes est importante en physique théorique, mais on ne voit pas ça avant le master