Est-ce que l'ensemble de tous les ensembles contient lui-même ?

contient lui-même quoi ?

nan rien

fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

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physiquechimie] Voir le profil de physiquechimie]
Posté le 26 juillet 2014 à 14:00:01 Avertir un administrateur
J'arrive pas à imaginer un ensemble qui ne se contient pas lui-même

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Euh t'es sur ?

A={1} ne contient pas A.

Non, tu confonds un élément avec un singleton. {1} n'est pas 1.
Là on aurait plutôt A={1;A}={1,{1,A}}, et tu peux continuer.

C'est l'axiome d'extensionnalité ça, le fait que deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments.

Là, quand tu prends A={1}, tu vois bien que {1} n'appartient pas à A. {1} est inclus dans A. Mais {1} n'est pas un élément de A.

Oui tu es en train de confondre appartenance et inclusion.

Sinon, pour répondre à la question initiale, "l'ensemble de tous les ensembles" n'existe pas. La raison est que, si on suppose qu'il y a un "ensemble de tous les ensembles", on obtient le paradoxe de Russell comme expliqué dans le lien de Prauron.

Savoir ce qu'est exactement un "ensemble" n'est pas chose facile. L'idée intuitive qu'on en a, c'est qu'un ensemble peut se définir à partir d'un prédicat, comme "l'ensemble de tous les objets qui satisfont ce prédicat". Mais cette définition est fausse. Les prédicats qui définissent un ensemble sont appelés "prédicats collectivisants", mais il en existe qui ne le sont pas (P(x) := "x n'appartient pas à x", par exemple)

Perso, j'ai pas trop d'intuition, à part "un objet qui satisfait les axiomes de la théorie des ensembles".
Si tu veux la définition exacte de ce qu'est un ensemble, c'est ça (en fait, c'est une parmi une multitude de définitions possibles ) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_ensembles_de_Zermelo-Fraenkel

Par contre, il est possible de construire un ensemble qui se contient lui-même. Cette propriété en soi ne cause pas forcément de paradoxe. Mais ce sont en général des ensembles un peu bizarres, et on rajoute parfois à la théorie des ensembles un axiome dit de "bonne fondation", qui permet d'éviter qu'un ensemble se contienne lui-même.

@Lowenheim: Attention qu'il n'est pas correct de dire que la théorie ZF est une définition de ce qu'est un ensemble.
La théorie ZF ( ou toute autre théorie des ensembles) ne définit pas le concept d'ensemble en tant que tel mais donne une axiomatisation de la théorie des ensembles. càd qu'un objet satisfaisant les axiomes de ZF n'est pas un ensemble mais un "univers" i.e. au sein de cet objet on peut reconstruire les mathématiques (i.e. on y trouve un objet "ensemble des entiers", "opération +" etc). On dit que cet objet est modèle de la théorie ZF.
Un tel modèle n'est pas unique et est (si on s'en tient aux définitions usuelles)... un ensemble.
Tout cela est un peu subtil et pas évident à comprendre. Personnellement, le paradoxe de Skolem (http://en.wikipedia.org/wiki/Skolem%27s_paradox ) m'a bien aidé à améliorer la compréhension de toutes ces notions.

Oui en effet je vulgarisais largement, de toute façon je doute qu'il lise très en détails le lien c'était pour la forme

Et je voulais dire "objet défini par les axiomes de ZF" et non "objet satisfaisant les axiomes de ZF", en effet c'est différent merci d'avoir relevé (Et pour préciser, je voulais dire que quand on dit "quelquesoit x" dans le langage de ZF, les "x" dont on peut parler sont ce qu'on appelle les ensembles.)

Cet ensemble n'existe pas tout simplement, il n'y a aucun problème...