Il y a plusieurs problèmes ! je vais essayer d'en parler sans trop m'emmêler les pinceaux
Le premier grand problème vient de la nature de ces théories. La physique quantique est basée sur une géométrie fixée, et on arrive bien à décrire 3 des 4 interactions fondamentales dans ce cadre qu'on appelle modèle standard. Lorsque deux particules interagissent, elles s'échangent d'autres particules qu'on appelle bosons de jauge (un peu comme si tu lançais un ballon à quelqu'un). Par contre, la relativité générale nous dit que la gravitation n'est pas une interaction comme les 3 autres. En relativité générale, on n'étudie plus la dynamique des particules mais la dynamique de l'espace-temps lui-même ! une particule massive déforme l'espace-temps. Cela veut dire que le trajet le plus court entre deux points n'est plus forcément une droite ! Bref en relativité générale, les particules n'interagissent pas en s'échangeant d'autres particules, mais se déplacent dans un espace-temps déformé à cause des autres particules massives.
Bref l'énorme problème est que la relativité générale est basée sur la continuité de l'espace-temps, c'est en contradiction avec les idées de la physique quantique où tout est quantifié.
Ensuite le plus gros problème est que si on essaie de décrire la gravitation dans le cadre du modèle standard, il apparaît des divergences qu'il est impossible de supprimer : ça n'a aucun sens physique. On dit que la théorie n'est pas renormalisable. Ca montre bien que dans le cadre du modèle standard, la gravitation est incompatible avec les autres interactions.
Ce qu'on aime faire en physique fondamentale, c'est unifier les interactions. Ce qu'il faut bien comprendre, c'est que l'intensité d'une interaction varie selon l'énergie à laquelle on se place. Quand on est à haute énergie, cela correspond à une forte température, ou bien à une taille de l'univers très faible si tu veux. A une certaine énergie, on sait que les 3 interactions du modèle standard ont la même intensité, on devrait donc être capable de les unifier. Je sais qu'on sait le faire pour 2 des 3, je crois même qu'on sait le faire pour les 3. Bref, au bout d'un moment il nous reste plus que deux interactions : celle du modèle standard et la gravitation.
La gravitation devient aussi importante que l'autre interaction à très très haute énergie. Ca correspond à un univers d'une taille de l'ordre de 10^-34m si je dis pas de bêtise... C'est pourquoi on dit qu'il y a le mur de planck : on ne connaît pas les lois de l'univers au-delà de cette échelle, parce qu'on ne sait pas unifier la gravitation avec les autres.
Bon les alternatives maintenant : les deux plus connues sont la gravitation quantique à boucle (LQG) et la théorie des cordes. En LQG, le but est de décrire la gravitation avec les lois qu'on connaît de la physique quantique : c'est-à-dire qu'il faut tout discrétiser. Du coup on se retrouve avec un espace-temps "quantifié". Je n'y connais pas grand chose, mais je sais que cette théorie est loin d'être consistante, surtout au niveau de la dynamique. Le gros problème est qu'il est quasiment (voire totalement) impossible d'essayer de la vérifier expérimentalement. On est très très loin de pouvoir sonder la matière à cette échelle-là...
En théorie des cordes on va au-delà, on ne se propose pas de décrire la gravitation dans un cadre quantique, on vire tout ce qu'on connaît du modèle standard et on veut unifier toutes les interactions ! là aussi je n'y connais pas grand chose, je sais juste que la théorie des cordes est basée sur des hypothèses fortes comme l'existence de 10 dimensions et la supersymétrie. Pourtant l'idée est élégantes : toutes les particules ne seraient que les états de vibration de cordes.
Pour conclure le gros problème des théories quantiques de la gravitation est qu'il est quasiment impossible de les vérifier expérimentalement. Elles suggèrent beaucoup de choses élégantes, mais il faut monter beaucoup, beaucoup trop haut en énergie pour savoir ce qu'il se passe. Il y a donc encore beaucoup de travail théorique et expérimental 