Desirant Julien et Clement
L’algèbre de boole
Boole est à l´origine de la logique moderne. L´algèbre de Boole qu´il exprime en 1854, est aussi utilisée de nos jours dans la mise au point des machines automatiques .
Un processeur est composé de transistors permettant de réaliser des fonctions sur des signaux numériques. Ces transistors, assemblés entre eux forment des composants permettant de réaliser des fonctions très simples. A partir de ces composants il est possible de créer des circuits réalisant des opérations très complexes. L´algèbre de Boole est un moyen d´arriver à créer de tel circuit.
L´Algèbre de Boole sert à décrire les raisonnements logiques, en exprimant un " état" en fonction de conditions. Par exemple :
Vert = Bleu ET Jaune
Vert est " VRAI" SI il ya du bleu ET du jaune
Décrocher = ( Envie_de_répondre ET Sonnerie ) OU envie_d´appeler
Décrocher est " VRAI" SI on entend la sonnerie ET que l´on envie de répondre OU SI l´on a envie d´appeler
Définitions :
État: Le fait d´être " VRAI" ou " FAUX", égal à 1 ou égal à 0.
Variable: C´est une variable qui a un état.
Fonction: Elle est représentée par un groupe de variables reliées par des opérateurs logiques .
Exemple avec un état:
0 = lampe éteinte
1 = lampe allumée
Table de vérité
Une table de vérité est une table permettant de connaitre les valeurs de sortie d´un opérateur logique en fonction des valeurs en entrée.
a b valeur de a opérateur b
0 0 X1
0 1 X2
1 0 X3
1 1 X4
Opérateurs Logiques
Il existe trois " opérateurs logiques" élémentaires:
ET : " ." ( un point)
OU : " +" ( un plus)
NON : " ¯" ( une barre placée au dessus d´une variable ou d´un groupe de variables)
Ils se lisent:
a . b = S < => a ET b est égal à S.
a + b = S < => a OU b est égal à S.
se lit " a BARRE" et compte comme l´inverse de a. ( 0 si a=1, 1 si a=0)
Pour simplifier l´écriture informatique le symbole NON est remplacé par le caractère | après la variable. Donc devient a|.
Explication de la notation . et + :
Le OU ( opération +) est une opération dont 0 est l´élément neutre.
Le ET ( opération . ) est une opération distributive et associative par rapport au OU.
L´ensemble des booléens munie de l´opération OU est un groupe commutatif.
L´ensemble des booléens munie de l´opération OU et de l´opération ET est donc un anneau. Sa relation additive est le OU et sa relation multiplicative est le ET.
Il n´est donc pas suprenant de noter le OU avec le symbole +, et le symbole ET avec le symbole .
Somme Logique ( "OU", notée " +")
Il suffit qu´un des termes soit " VRAI" ( =1) pour que l´expression soit " VRAIE" ( =1).
Règles:
a + 0 = a
Explication :
Dans " a OU quelque_chose_d´impossible", seul " a" compte car l´impossible ( le 0) n´arrive jammais et ne peut donc jamais rendre l´expression " VRAIE". Comme il n´est pas indispensable, il ne la rend pas non plus fausse.
a + 1 = 1
Explication :
" a OU quelque_chose_de_toujours_vrai" est toujours vrai. Car il suffit qu´une des deux conditions soit " VRAIE", et " 1" l´est toujours.
Table de verité
a b a OU b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Inversion ( "NON", notée " ¯")
Elle est égale à l´inverse de ce à quoi elle s´applique.
Exemple :
a = 0 < -> a| = 1
a ne peut avoir que deux états possibles 1 ou 0, si a = 0 alors a| = 1. La fonction NON remplace le 0 par 1 et le 1 par 0.
Table de verité
a NON a
0 1
1 0
Propriétés des opérateurs
Il s´agit de règles permettant d´aboutir à autre manière de décrire la situation. Par exemple, il est plus facile de dire que " la lumière doit être allumée" que " la lumière ne doit pas être éteinte".
Priorité
Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux même règles que les opérations " de tous les jours", la fonction ET ( multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU ( comme logique); on peut, pour s´aider, placer des parenthèses dans les opérations.
Exemple :
{ a = 0 ; b = 1 ; c = 1 }
On cherche a . b + c = ? ??
D´abord on calcule a . b:
a . b = 0 . 1
0 . 1 = 0
Puis, on calcule 0 + c:
0 + c = c
c = 1
Le résultat final est donc:
a . b + c = 1
Commutativité
Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles: ( a + b ) + c = a + b + c
( a . b ) . c = a . b . c
Distributivité
Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer: a . ( b + c ) = a . b + a . c
a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )
Idempotence
a + a + a [...] = a
a . a . a [...] = a
enfin si mais ce sont des versions téléchargées qui ne marchent pas!! 
tout le monde!! 
