en fait, sur ce point, il faut être extrêmement attentif. Telle quelle, la métrique de R3,1 ne peut pas fluctuer (pas plus que celle de R4).
Dans notre approche, l’objet qui fluctue c’est « la métrique de R3,1 + UN DEGRE DE LIBERTE »
Sans ce degré de liberté supplémentaire, il n’y a aucune fluctuation possible. On aura beau considérer, comme le suggère Damien, un espace des modules des métriques de R3,1 ou de R4, il n’existe AUCUNE possibilité d’envisager la moindre fluctuation dans cet espace des modules. D’ailleurs, CFT2D, ta remarque va exactement dans ce sens.
Cela n’apparaît pas encore clairement dans le post précédent, mais un chemin de fluctuation entre la métrique lorentzienne et la métrique euclidienne ne peut exister que dans un espace plus vaste. Comme tu l’as déjà noté, CFT2D, l’accès à cet espace plus vaste nous est fourni par sigma h (ou plus précisément par l’espace topologique quotient qui lui correspond « sigma top »). En effet, SO 0 (3,1) comme SO (4) sont des groupes de dimensions 6. Or sigma h est un espace homogène symétrique de dimension 9.
Rappelles toi de ta remarque CFT2D (tu t’adressais à YBM le 22/01) : « L´enjeu est de comprendre via quel type d´éléments on passe d´une membrane à une autre. Autant une transformation vit dans un groupe de dimension 6 autant là l´espace de mélange est de dimension 9, que signifient ces 3 dimensions supplémentaires? »
La réponse est la suivante : ce sont justement ces 3 dimensions supplémentaires qui rendent la fluctuation possible entre 3,1 et 4,0. Dans nos thèses, Sigma h donne l’unification (au sens de Flato) entre le groupe de lorentz et le groupe euclidien. Pour dégager la structure topologique associée àSigma h , il faut aller plus loin. C’est pourquoi nous avons proposé d’associer à Sigma h l’espace topologique quotient « Sigma top » décrivant la superposition des métriques lorentzienne et riemannienne. Sigma top correspond à l’ensemble des orbites de SO (3) sur R3,1 cross R4. Le calcul montre que Sigma top a la structure d’un demi cone plein convexe de dimension 5.
D´où vient cette dimension 5? Les arguments heuristiques sont relativement simples :
-Sigma h est de dimensions 9
- SO 0 (3,1) -dimensions 6- agit sur R3,1 (dimensions 4)
- SO(4) -dim 6- agit sur R4 (dim 4)
- Enfin, au quotient, SO(3) -dim 3- agit sur R3 (dim 3)
Dans l´espace homogène, on retrouve donc 6 + 6 -3 = 9 dimensions.
Mais à présent, dans Sigma top on a 4 + 4 -3 = 5 dimensions.
Tout est là : cette 5ème dimension fournit l´indispensable degré de liberté autorisant la fluctuation de la signature.
Autrement dit, Sigma top a une structure de variété (variété quotient) munie d’une métrique de dimension 5. C’est dans cette variété que peut s’effectuer la fluctuation de la signature, sachant que si l’on s’intéresse à un espace des modules des métriques, ce sont des métriques de dimension 5 ( et surtout pas des métriques de dimensions 4).