Je recommande un diatonique en do de chez bluesmaster, c'est de l'entrée de gamme ( donc si ça te plaît pas, c'est pas grave ). Ca se commande sur internet ( c'était sur harmonicaland.com pour ma part ) ou dans un magasin d'instruments de musique 
Avec je te conseille tout de même une méthode comme celle-ci http://www.harmonicaland.com/achat/produit_details.php?id=33 par David Herzhaft ( cette enflure peut reprendre du Charlie Parker, si quelqu'un peut saisir quel est le niveau ). Personnellement j'ai progressé avec ça un certain temps et j'en étais pas mécontent ^^
Et en général, des morceaux faciles, on en trouve pas mal sur internet, les petits trucs faciles pour apprendre à se déplacer sur l'instrument.
Le solfège n'est pas indispensable, mais quand on acquiert un certain niveau ( au bout d'un petit moment donc ) il est quand même souhaitable de s'y mettre, histoire de pas rester comme tous ces gens qui jouent des mélodies sans rien y comprendre. Et c'est mieux pour improviser, car disons que le "don" d'improviser d'instinct n'est pas donné à tout le monde.
Un harmonica chromatique diffère d'un diatonique en cela que les altérations ( élever ou abaisser une note de x tons ) est artificielle, à l'aide d'une tirette. Sur un diatonique, on altère avec des techniques buccales ^^ en changeant la position de la langue. Jouer sur un chromatique a l'air plus alléchant, mais je te conseille tout de même de commencer sur un diatonique, plus formateur je dirais.
Enfin, un petit plus, j'espère pour toi que tu aimes beaucoup le blues, genre préféré de l'instrument. Je trouve toujours plus motivant d'entendre des trucs en rapport avec son instrument pour chopper un peu d'inspiration, de phrasé, etc...
Voilà, j'espère t'avoir répondu, n'hésite pas à me redemander si tu as d'autres questions. 