huhuhuhuuhu Il y a plusieurs façons de calculer l'aire d'un parallélogramme. Tout dépend des dimensions connues. Il est nécessaire de connaître la longueur d'un côté (pris comme base) et la hauteur qui lui est relative. Par exemple: si AB est connu il faut connaître la hauteur qui passe par A (comme [AH]) ou par B, par C (comme [CK]) ou par D ou encore par n'importe quel point du côté (DC) ou (AB). Toutes ces hauteurs sont égales.
La formule générale est: Base*Hauteur
Le calcul de l'aire d'un parallélogramme est déduit de celui de l'aire d'un rectangle.
Sur la figure ci-contre: les triangles AHD et BKC sont superposables de même aire. Calculer l'aire de ABCD revient à calculer l'aire du rectangle ABKH: AB*AH.
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Cas particuliers: les rectangles.
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Cas particulier: le losange.
Si nous connaissons la longueur de ses diagonales, nous pouvons découper un losange en quatre triangles rectangles superposables (dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu).
Sur la figure ci-contre: l'aire du losange ABCD est égale à quatre fois l'aire de AOB. Soit:
4*(OA*OB)/2 ou 2(OA*OB)
ou encore: AC*OB (car 2OA=AC).
Bien entendu, rien ne vous empêche d'utiliser la formule générale des parallélogrammes si vous en connaissez les éléments (une base et sa hauteur relative)
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Les trapèzes :
Quelque soit le type de trapèze (quelconque, isocèle ou rectangle) la formule à utiliser est toujours la même.
[AB] et [DC] sont appelées petite base (b) et grande base (B). [AH] est une hauteur (h) relative à une base. La formule est:
(B+b)*h/2
La distance entre les deux bases (hauteur du trapèze) n'est pas forcément toujours donnée par la mesure du seul [AH] comme pour toute distance entre deux droites parallèles.
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Les quadrilatères quelconques :
Dans ce cas il est nécessaire de découper la surface en surfaces dont on connaît une formule (triangles, rectangles,..).
Sur l'exemple ci-contre deux droites parallèles à deux côtés du quadrilatère (la première à être tracée est celle qui passe par A) permettent de partager le quadrilatère en un rectangle, un triangle rectangle et un triangle quelconque.
Une autre façon serait de tracer une droite parallèle à (AD) et passant par B.
Pour les calculs il est évidemment nécessaire de connaître certains éléments généralement donnés par le contexte du problème.
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Les polygones:
Les polygones sont des figures planes ayant plus de deux côtés (les triangles et les quadrilatères sont des polygones). Nous donnons ici un exemple de polygone à 5 côtés. Pour en calculer l'aire il est nécessaire de partager sa surface en polygones dont nous connaissons une formule (tels que: triangles, quadrilatères).
Pour enduire d'un produit bleu le mur de cette mansarde il est d'abord nécessaire d'en connaître l'aire afin de calculer la quantité de produit à acheter. Nous avons les dimensions en mètres et nous savons que les angles en A et B sont droits.
Nous pouvons décomposer la surface de différentes manières (tracés en gris):
1° En un rectangle ABFE, un triangle rectangle EID et un trapèze rectangle CDIF.
2° En un rectangle EIHA, un trapèze rectangle BCDH et un triangle rectangle EID.
3° En deux rectangles EIHA et IFBH, un triangle rectangle EID et un trapèze rectangle CDIF.
4° En un trapèze rectangle AHDE, un rectangle BFIH et un trapèze rectangle CDIF.
5° En deux trapèzes rectangles AHDE et BCDH.
Avec les données du problème nous pouvons utiliser n'importe quelle manière, la plus simple étant préférable! Les dimensions manquantes sont calculées par soustraction. Par exemple pour calculer l'aire du triangle rectangle EID: EI=3,1m et ID=HD-HI soit ID=4,3-1,7=2,6m. Et aire EID=(IE*ID):2. Nous trouvons 4,03m2.
En utilisant la cinquième manière nous trouvons:
Aire AHDE=(AE+HD)*AH/2 soit 9,3 m2
Aire BCDH=(CB+DH)*HB/2 soit 9,125 m2
Aire du mur à enduire=9,3+9,125=18,425 m2
Un conseil: si vous n'êtes pas à l'aise avec ces calculs d'aires, entraînez vous en effectuant les calculs avec les autres manières. Vous devez trouver exactement la même aire bien sûr.
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Disques et secteurs:
L'aire d'un disque est donnée par la formule *R2 où est souvent pris égal à 3,14 (pour plus de précision voir la touche correspondante de votre calculatrice) et R est la mesure du rayon du disque.
Un secteur de disque est déterminé par un angle au centre (le sommet de l'angle est au centre du disque). Un demi-disque, un quart de disque sont des cas particuliers de secteurs de disque. Leur aire est respectivement *R2 /2 et *R2 /4. Voici un exemple de calcul de l'aire d'un secteur de disque dont l'angle au centre mesure 110° et le rayon 3cm:
L'aire du secteur est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre. Pour le disque complet l'aire est *R2 et correspond à un angle au centre de 360°. Si s est l'aire du secteur correspondant à l'angle au centre de mesure 110° alors les produits en croix permettent d'écrire:
- R2*110=360*s et s= (*R2*110)/360
Si le rayon R mesure 3cm alors s=8,64cm2 environ (à 1/100 de cm2 près ou 1mm2 près).
Si au lieu de 110° nous avons un angle de mesure quelconque a alors la formule de l'aire du secteur circulaire d'angle au centre a et de rayon R est:(*R2×a)/360.
Les volumes (Aires latérales et volumes de solides)
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Définition:
L'aire latérale d'un solide est la somme des aires des faces qui ne sont pas les bases.
L'aire totale des faces d'un solide est la somme de l'aire latérale et des aires des bases. Si il n'y a pas de base (cas de la sphère) l'aire latérale est l'aire totale.
L'unité de mesure d'un volume est le mètre cube (m3)
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Les prismes droits:
Définitions: Un prisme droit est un solide qui possède deux bases parallèles (contenues dans deux plans parallèles sur la figure ci-dessous) et dont les faces latérales sont des rectangles.
Le prisme est droit lorsque ses arêtes latérales (en vert sur le dessin) sont perpendiculaires aux deux bases.
La hauteur d'un prisme est la distance entre les deux plans de base. Pour un prisme droit la hauteur est égale à la longueur d'une arête latérale.
Exemples:
Fig 1: le parallélépipède rectangle (ou pavé droit)
Fig 2: le cube
Fig 3: prisme droit à base triangulaire.
Fig 4: prisme droit à base quelconque.
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Calcul de l'aire latérale:
Il suffit d'ajouter toutes les aires des faces latérales. Ces aires se calculent à l'aide de la formule de l'aire du rectangle.
Pour le cube il s'agit d'aires de carrés.
Pour le pavé droit, les faces latérales sont de même aire deux à deux.
Calcul du volume :
Quelque soit le prisme son volume se calcule avec la formule: V=B.h où B est l'aire de la base (qui est calculée à l'aide des formules sur les polygones comme le triangle, le rectangle,..), h est la hauteur du prisme.
Pour le cube, la formule devient: V=c3 où c est la longueur d'une arête.
Pour le pavé droit, la formule s'écrit: V=L.l.h où L est la longueur, l est la largeur et h est la hauteur du pavé droit.
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Le cylindre droit:
Les bases sont des disques de même rayon R.
La face latérale se "déroule" en formant un rectangle dont la largeur est la hauteur h du cylindre et la longueur le périmètre de l'un des disques 2..R. L'aire de cette face latérale est donc:
A=2 .R.h
d'après la formule utilisée pour l'aire d'un rectangle.
Le volume se calcule avec la formule: V=.R2.h
Remarque: .R2 est l'aire de la base, donc la formule du volume d'un cylindre peut s'écrire comme la formule du volume d'un prisme: V=B.h.
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D'autres solides:
