Yep il me semble que c'est un problème de canaux en fait, ça me faisait ça avec mon casque Sony..
En gros quand t'es en bluetooth, ta console envoie des données via des ondes vers ton casque, et parfois ces ondes peuvent interférer avec les ondes wifi qui te permettent d'accéder à internet.
Y'a un test simple pour savoir si c'est ça, branche toi en ethernet et regarde si tu as toujours ce problème.
Si c'est bien ce problème, faut aller dans les paramètres de ton routeur et changer de canal wifi 